[中學] 數列與級數的極限比較

[hsheng (漢聲)]

各位前輩好，下列有一些高中數列和級數問題想釐清觀念一下:

1).    1 , 1/2 , 1/3 , 1/4...... 此為收斂數列 (收斂於0)
       1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + .....  此為發散級數

2).    1, 1/2^2 , 1/3^2 , 1/4^2 ,.....此為收斂數列 (收斂於0)
       1+ 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 +.....此為發散級數

3).    1 , 1/2 , (1/2)^2 , (1/2)^3,.......此為收斂數列 (收斂於0)
       1 + 1/2 + (1/2)^2 + (1/2)^3 +..... 此為收斂級數 (收斂於2)

4).  (4+3)/5 , (4^2+3^2)/5^2 , (4^3+3^3)/5^3, ...... 此為收斂數列 (收斂於0)
     (4+3)/5 + (4^2+3^2)/5^2 + (4^3+3^3)/5^3 +.......此為發散級數

5).  (5-4)/(5+4) , (5^2-4^2)/(5^2+4^2) , (5^3-4^3)/(5^3+4^3)....
     此為收斂數列 (收斂於1)

     (5-4)/(5+4) + (5^2-4^2)/(5^2+4^2) + (5^3-4^3)/(5^3+4^3) + .....
     此為發散級數

想請教前輩上面五題，我的想法是否都正確，還請不吝賜教，謝謝!














--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 210.66.95.23
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1496037440.A.875.html
推 Mathmaster  : (2)級數收斂到(π^2)/6，(4)級數收斂到11/2
→ Mathmaster  : 剩下都正確
恩，了解，謝謝!!(2)級數收斂到(π^2)/6 應超出高中範圍吧??
想繼續問一下: 若級數收斂，此數列必定收斂於0
              若數列收斂於0，此級數 不一定  收斂
              而若數列不收斂於0，此級數 必定 不收斂
我上面的結論是否正確呢??謝謝!!
※ 編輯: hsheng (210.66.95.23), 05/29/2017 14:32:36
推 Mathmaster  : 你的結論是正確的
推 Vulpix      : 是對的。至於(π^2)/6其實沒有超出高中範圍，但是是
→ Vulpix      : 大難題，不會沒關係。
推 candog      : 想問2級數用高中範圍怎麼解釋
推 LPH66       : en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem#The_proof
→ LPH66       : 沒看錯裡面用到複數、棣美弗、三角函數不等式、
→ LPH66       : 二項式展開、以及最後夾擠的極限
→ LPH66       : 據上面寫這個做法最早可以上溯至柯西
推 LPH66       : 啊, 還看到根與係數 XD
推 G41271      : (π^2)/6不會沒關係, 但要會證明是收斂的
→ G41271      : 喔回文有寫證明方法了