[微積] 遞增函數 和 遞減函數 相乘

[Lanjaja ()]

想請問一個證明題：

嚴格遞增函數f(x)和嚴格遞減函數g(x)在[a,b]上為正，
試證f(x)g(x)在[a, b]區間中至少存在一個極值。

以前好像有證過，但是現在怎麼想都想不起來><
想請教板上高手解答，謝謝～

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→ Lanjaja     : 可能還有其他條件我忘了，強者可以幫我補上嗎?
→ Lanjaja     : 如果這樣的條件就夠了，就不用再加額外條件。感謝
→ Lanjaja     : 或許該定義成在[a, b]區間中f(x)是嚴格遞增正函數
→ Lanjaja     : g(x)是嚴格遞減正函數
推 sunev       : f=x+2, g=-x+1在[0,1] 為一反例
→ Lanjaja     : g(1)=0不為正
推 Desperato   : f=x+10, g=-x+2 on [0, 1] 是反例
→ Desperato   : 直接對fg微分 很容易找到反例
→ LiamIssac   : g = K*f for K > 0 and for all x?
推 JI1         : defend mathematics
推 yangs0618   : f g不一定可以微分 甚至不一定連續
推 wohtp       : 若是極值數目可數，隨便都可以切一塊[a', b']出來，
→ wohtp       : 中間沒極值，不是嗎
→ wohtp       : 等等，可數好像太強……
→ wohtp       : 分布不能稠密，這樣就沒問題了
→ Lanjaja     : 分布不能稠密?可以請w大解釋解釋?
→ Desperato   : 他的意思是反例太多XD
→ Vulpix      : 邊界上的極值算是你的極值嗎？
→ Vulpix      : 例如：[0,1]上的f(x)=x在0、1算不算有極值？
推 arthurduh1  : 分成三段可以造出在沒全域極值的例子
→ arthurduh1  : 而且是嚴格遞增/減.     (邊界上的也算極值)
→ Vulpix      : 要的應該是一個畢區間上沒極值的b.v.函數，真的能做
→ Vulpix      : 出來！？
→ arthurduh1  : 第一個函數值域: [0,2)  [2,3)   [4,8]
→ arthurduh1  : 第二個: [10,9)   [7,4)    [4,1]
→ arthurduh1  : 所以要問也只能問局部極值.
→ arthurduh1  : 啊, 還有我先取過 log 了, 所以要用相加的.
→ Vulpix      : 閉...怎麼會錯這種字orz
→ arthurduh1  : (由上述的值域做分段線性函數出來)
→ arthurduh1  : 但問局部的話, 用 b.v. 的看法好像也不可能.
→ arthurduh1  : 不然就是想想在連續的條件下有沒有反例吧.
→ arthurduh1  : 也不行啊, 連續直接用 compact 就一定有全域極值了.
→ arthurduh1  : 想不出來要怎麼補條件XDD