Re: [微積] 遞增函數 和 遞減函數 相乘

[arthurduh1 (arthurduh1)]

※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 想請問一個證明題：
: 嚴格遞增函數f(x)和嚴格遞減函數g(x)在[a,b]上為正，
: 試證f(x)g(x)在[a, b]區間中至少存在一個極值。
: 以前好像有證過，但是現在怎麼想都想不起來><
: 想請教板上高手解答，謝謝～


如果這裡的極值指的是局部極值, 那還是有反例.


首先, 可以把 f(x)g(x) 看成 exp( log(f(x)) + log(g(x)) ).

由於 log 和 exp 都保序(故保持嚴格遞增/減的性質與局部極值),

因此可以把原問題轉換成:



F(x) + G(x) 在 [a, b] 區間中至少存在一個局部極值,

其中 F(x) 嚴格遞增, G(x) 嚴格遞減.


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再來由 Jordan decomposition 可以知道我們所關心的

F(x) + G(x) 正是那些 functions of bounded variation.

原問題可以再次轉換成:


h(x) 在 [a, b] 區間中至少存在一個局部極值, 其中 h is a fct of b.v.


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反例:

存在唯一一個奇函數 h: [-2, 2] → R 使得:

(a) h 在 [0, 1), [ 2-1/n, 2-1/(n+1) ) 上都是線性的;

(b) h(0) = 0, h(2-1/n) = 0, h(2) = 0.

(c) h( (2-1/n)^- ) = 1/n^2.

其中 n 都跑遍所有正整數.



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→ cuttlefish  : 可是這裡的F,G一定嚴格地增減嗎?
直接套 decomposition 的話不會.

但打從一開始就能經過以下微調把「嚴格」這條件去掉:

假如 h(x) = F(x) + G(x), 其中 F 遞增, G 遞減.

那 h(x) = ( F(x) + x ) + ( G(x) - x ).

其中 F(x) + x 就會是嚴格遞增, 而 G(x) - x 是嚴格遞減.

→ cuttlefish  : ㄝ不過我印象中的decomposition只會差一常數
→ cuttlefish  : 不過這塊不太熟不很確定就是了
因為那個 decomposition 還要求 variations 可以直接相加.
但我們這邊不需要這個性質.

不放心的話, 就自己把 h 隨意分成兩塊滿足條件的就好, 其實並不難,
只是寫起來會有一堆 summations.
※ 編輯: arthurduh1 (140.109.73.120), 06/05/2017 11:54:00
→ cuttlefish  : ok thx