推 lmzenith : 非常的感謝您! 06/11 10:53
※ 引述《lmzenith (海苔飯捲)》之銘言：
: https://i.imgur.com/39pgNQe.jpg
: 想請教7還有8的右邊 要怎麼算呢？
: 新手第一次發文 還請多多指教
8的右邊應該只能用特殊函數來表示
Hurwitz zeta function
∞ 1
ζ(s, q) = Σ -----------
n=0 (q + n)^s
所以
∞ 1
Σ ----------- = (1/4)^3 * ζ(3, 1/4)
n=0 (4n + 1)^3
∞ (-1)^n
S = Σ -----------
n=0 (4n + 1)^3
∞ 1 ∞ 1
Σ ------------- = Σ ---------- = (1/8)^3 * ζ(3, 1/8)
n=0 (4n + 1)^3 k=0 (8k + 1)^3
n=偶數
∞ 1 ∞ 1
Σ ------------- = Σ ---------- = (1/8)^3 * ζ(3, 5/8)
n=1 (4n + 1)^3 k=0 (8k + 5)^3
n=奇數
(1/4)^3 * ζ(3, 1/4) + S = 2 * (1/8)^3 * ζ(3, 1/8)
(1/4)^3 * ζ(3, 1/4) - S = 2 * (1/8)^3 * ζ(3, 5/8)
∞ (-1)^n
=> Σ ---------- = (1/512) [ζ(3, 1/8) - ζ(3, 5/8)]
n=0 (4n + 1)^3
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