Re: [中學] 求和

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)》之銘言：
: 簡單的一題, 不過我的方法很醜想問問看有無好方法?
:        inf
: 求 1 + Sum (-1)^n * (2n-1)!! / (2n)!!
:        n=1
: where k!! = k*(k-2)*....*2, and 1!! = 1


應該是正常解法(?) 以前玩過一兩次 不過那邊的題目自帶遞迴式還好ow o


Let c_0 = 1, c_n = (-1)^n * (2n-1)!! / (2n)!!

Then c_(n+1)/c_n = (-1) (2n+1) / (2n+2), for all n>=0

2 (n+1) c_(n+1) + 2 n c_n + c_n = 0    (*)

        inf               inf
Let y = sum c_n x^n, y' = sum n c_n x^(n-1)
        n=0               n=1

     inf
Take sum (*) x^n we have 2y' + 2y'x + y = 0
     n=0

(2/y) dy + 1/(1+x) dx = 0

2 ln|y| + ln|1+x| = c

y^2 (1+x) = +-e^c = k

y = k(1+x)^(-1/2)

y(0) = k = c_0 = 1


We want = y(1) = 1/sqrt(2)


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嗯嗯ow o

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.4.209
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1497576104.A.C06.html
→ yyc2008     : 幾年前在板上好像也看過類似題  只是沒化成取和形式
→ Tiderus     : y' = sum n c_n x^(n-1)  ??
感謝 已訂正ow o
※ 編輯: Desperato (140.112.25.105), 06/16/2017 21:05:58
→ Tiderus     : 中間有個地方不懂。
→ Tiderus     : 2 (n+1) c_(n+1) + 2 n c_n + c_n = 0 這裡的還沒
→ Tiderus     : inf，n和n+1差1，但2y' + 2y'x + y = 0這裡inf後
→ Tiderus     : n和n+1之間差距，為什麼不用考慮？請D大能不能說一
→ Tiderus     : 下，謝謝。
2 (n+1) c_(n+1) + 2 n c_n + c_n = 0

inf                       inf               inf
sum 2 (n+1) c_(n+1) x^n + sum 2 n c_n x^n + sum c_n x^n= 0
n=0                       n=0               n=0


  inf                    inf                 inf
2 sum m c_m x^(m-1) + 2x sum n c_n x^(n-1) + sum c_n x^n= 0
  m=0                    n=0                 n=0

2 (y') + 2x (y') + y = 0

差一項的問題 應該和無窮等比差不多概念吧ow o
等比乘r相減也老是前後差一項啊XD
可是無窮等比就是只會差第一項 不會差最後一項(因為沒有這東西)
這題是因為差的第一項是0 所以看起來沒差

※ 編輯: Desperato (140.112.25.105), 06/16/2017 22:08:11
→ Tiderus     : 無窮等比的公比 |r|<1，可這裡似乎不確定?
→ Desperato   : 只要到時候代數字時收斂就好
推 Tiderus     :