Re: [中學] 求和

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)》之銘言：
: 簡單的一題, 不過我的方法很醜想問問看有無好方法?
:        inf
: 求 1 + Sum (-1)^n * (2n-1)!! / (2n)!!
:        n=1
: where k!! = k*(k-2)*....*2, and 1!! = 1

其實作法跟D大差不多，一樣是用生成函數，

但是因為有人問到收斂半徑、存在性等問題，就順便一次解決吧。

i)  改寫原級數：
                 ∞     n  (2n-1)!!
    原級數 = 1 + Σ (-1)  ─────
                 n=1        (2n)!!

                 ∞     n  (2n-1)!!*(2n)!!
           = 1 + Σ (-1)  ─────────
                 n=1        (2n)!!*(2n)!!

                 ∞     n     (2n)!
           = 1 + Σ (-1)  ───────
                 n=1        4^n * n!n!

             ∞     1 n  2n
           = Σ (- ─)  C
             n=0    4    n

              ∞   2n  n   ∞   2n+2  n+1
ii) 令 f(x) = Σ  C   x  = Σ  C     x
              n=0  n      n=-1  n+1

    計算收斂半徑：C(2n,n)/C(2n+2,n+1) = (n+1)/(4n+2) → 1/4 as n→∞

    所以 f(x) 在 ( -1/4 , 1/4 ) 收斂

    又 (n+1)/(4n+2) > 1/4  =>  即 C(2n,n)/4^n 會遞減至 0

    由交錯級數檢驗知 f(-1/4) 也收斂

iii)先考慮 |x| < 1/4
            ∞   2n+2      n
    f'(x) = Σ  C    (n+1)x       （n=-1 那項是 0，丟棄。）
            n=0  n+1

            ∞   2n        n
          = Σ  C   (4n+2)x
            n=0  n

          = 4xf'(x) + 2f(x)

iv) 解方程式：(1-4x)f'(x) = 2f(x), f(0) = 1

    => [ √(1-4x) * f(x) ]' = 0

    => f(x) = A/√(1-4x), 代入 x = 0 可得 A = 1

    所以當 |x| < 1/4 時，f(x) = 1/√(1-4x)

v)  由 Abel's Thm. 知 f(-1/4) = lim      f(x) = 1/√2
                                x→-1/4^+

收斂區間端點的極限常常藉由 Abel's Thm. 來計算極限值。

經典範例之一就是交錯調和級數：1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... = ln2

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