※ 引述《BanachTarski (BanachTarski)》之銘言：
: 小弟有一題習題一直想不出來
: 上來求救 感謝各路大神QQ
: Prove the following statement and find the value of the constant C
: π
: | sin(nx) |
: ∫|---------| dx ≒ C ln(n) as n→∞
: | x |
: -π
設 g(x) = |sin x|，變數變換可得
左式 = 2 積分(0至 n pi) |sin u|/u du
設 C1 = 積分(0至pi) g(x) dx / pi = 2/pi
則存在M使得for all b
|積分(0至b) [g(t) - C1]dt | < M (因為是週期連續函數，有界)
由瑕積分之Dirichlet test
積分(1至無限大) [g(u) - C1] / u du 收斂至I
故 lim (n→無限大) 積分(1至npi) g(u)/u du - C1 ln n = I
由於積分(0至1) g(u)/u du 收斂、ln n→無限大，原題之C取2C1=4/pi即可。
這個證明比所求的結論稍強一點。
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中 最 連 緊 閉 開
值 大 通 緻 集 集
在 最 到 映 返 返
中 小 連 緊 閉 開
間 值 通 緻 集 集
。 ， 。 ， ； ，
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