Re: [代數] 多項式

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)》之銘言：
: f為複數多項式, R(f):={z in C: f(z) = 0}, ex: R(z^2+1) = {i, -i}, R(z^2) = {0}.
: 現在已知兩複數多項式f和g滿足 R(f) = R(g) 和 R(f+1) = R(g+1), 試證明f=g.


f   的 k重根 <==> f' 的 k-1重根
f+1 的 k重根 <==> f' 的 k-1重根

令重根次數 m(f) = sum (k_i-1), 對所有 k_i重根加總

則顯然 deg f   = |R(f)| + m(f)
以及   deg f' >=  m(f)  + m(f+1)   (因為 f 和 f+1 不會有一樣的重根)

因此 |R(f)| + |R(f+1)|    (f 和 f+1 不會有一樣的根)
     = 2degf - m(f) - m(f+1) >= 2degf - deg f' = deg f + 1

by Lagrange formula, there exists unique poly deg <= |R(f)| + |R(f+1)|
satisfied f(z) = 0  for all z in R(f)
      and f(y) = -1 for all y in R(f+1)

現在 f 和 g 都符合條件 所以 f = that unique poly = g


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嗯嗯ow o

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→ Desperato   : R(f)要不等於0才行 所以 deg f >= 1 才成立
→ Desperato   : 會想要這樣證 是因為原本想證偽
→ Desperato   : 想要讓 f=0 和 f+1=0 有太多重根
→ Desperato   : 然後用lagrange弄出更低次數的g
→ Desperato   : 結果怎麼試都找不到這樣的f...
推 cuttlefish  : 推~ 的確疏忽了 f,g不能是常數多項式
→ cuttlefish  : typo: deg <= |R(f)| + |R(f+1)| - 1