Re: [中學] 一題幾何證明

[walkwall (會走路的牆)]

※ 引述《StellaNe (凍結的大地)》之銘言：
: http://i.imgur.com/sfhxEhi.jpg
: 如題，試了許多方法但沒有頭緒
: 圖中原子筆線是嘗試看看放大三角形使得圓恰為內切圓的情況但是看不出所以然
: 曾嘗試用孟氏定理(Menelaus' theorem)的比例去做沒有結果
: 請教各位了

I 在 AB, AC, BC 三點上的垂足 分別為 X, Y, Z (也就是內切圓與邊的切點)

因內心特性 : IBX與IBZ RHS全等 => BX=BZ

又因 IE=IK(題目大圓), IX=IZ, 角IXE=角IZK, IXE與IZK RHS全等 => XE=ZK

故 BE=BX-XE=BZ-ZK=BK

又因 角B=角B, BX=BZ, BEK~BXZ (SAS相似)  故 EK平行XZ

同理 FL平行YZ


延伸 AZ 交 EK 於 P1, AZ 交 FL 於 P2

因內心定義  AXI全等AYI => AX=AY

又因IX=IY(內接圓), IE=IF(題目大圓), 垂足, 故IXE全等IYF(RHS) => XE=YF

令 XE = t*AX, 則 YF = XE = t*AX = t*AY

因 EK 平行 XZ , 故 AXZ~AEP1, 故 ZP1 = t*AZ ;  同理  ZP2 = t*AZ

但因 P1,P2 皆在 AZ 延長線上, 可知 P1 = P2,

而 P1=P2 也是 EK 與 FL 交點, 故實際上 P1=P2=題目之P

AP 與 KL 交點, 即為 Z

同樣因大小圓與垂足, IZK全等IZL(RHS) => KZ=ZL => Z 為 KL 中點   Q.E.D.

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題目有小地方沒說清楚, 即E是大圓AB上較靠近B的焦點, F是AC上較靠近C的焦點

此外, 證明感覺還可以更簡化一點

不過懶得想了~   就先到這邊吧~~

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→ walkwall    : 整體的突破點是  EK平行XZ  以及  FL平行YZ
→ yyc2008     : IE=IC?
推 StellaNe    : 感謝
→ walkwall    : 不一定吧  為何你會覺得IE=IC?
→ yyc2008     : 你文中寫的 IE=IC(題目大圓)
→ starshiny   : C不再大圓上?
→ walkwall    : 嗯  筆誤  謝謝更正
※ 編輯: walkwall (114.40.180.123), 06/21/2017 23:43:20
→ walkwall    : 其實是F才對
→ yyc2008     : 好的 謝謝
→ yyc2008     : 想再請問一下 IZK全等IZL(RHS) 怎麼看的 謝謝
→ yyc2008     : 喔喔 我知道了
推 Desperato   : 先推再看w
推 cuttlefish  : 這很強推一下XD