Re: [中學] 高中圓錐曲線

[aromaQ626 (摳咪霉庇)]

先說明

以下只是"說明"找例子

並非證明

但是對於解答是非題

應該是足夠的

※ 引述《Mistouko (Mistouko)》之銘言：
: 題目：
: 1、在拋物線上必可找到三點，形成一個直角三角形？

先取一個拋物線 y = ax^2

(其他拋物線就只是這的拋物線旋轉平移而已)

並任意取兩個點

http://imgur.com/tNZxhwj

若這兩點是直角三角形的其中兩頂點

則有兩種可能

(1) 直角的頂點為這兩點之一

(2) 直角的頂點是第三個點



分開討論

(1) 直角的頂點為這兩點之一

則 經過這兩點 並 與過這兩點的切線垂直之直線

與原拋物線之焦點即為第三個點


又因任意取的兩個點可能平行或不平行 x 軸


若不平行

則所取的垂直線斜率為有限(非垂直線)

=> 垂直線必定與拋物線有焦點

=> 該焦點與原先兩點構成一直角三角形

=> 題目一命題為真



到這裡已經可以寫第一題答案了，不過為了科學的完整，還是把(2)討論完吧



(2) 直角的頂點是第三個點

則 原先任意取的兩點為直角三角形斜邊

   即為該直角三角形外接圓直徑

而外接圓與圓拋物線之焦點即為直角三角形的直角


為了讓外接圓有機會可以與拋物線相交

取足夠大的直徑就有辦法達成

=>這也可以說服人

可以在一拋物線上

找到三個點連線為一直角三角形




第二題也大概是相同想法

給你自己寫

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推 uhmeiouramu: 小學生烙國中生
→ strike5566: 國中生烙高中生
推 ccchenny: 但高中生不會烙大學生
推 aromaQ626: 因為大學生都在打LOL
推 Zeeslan: 要烙也只會烙賽
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→ Sfly        : 考慮以(-x,ax^2),(0,0),(x,ax^2)為頂點即可
→ aromaQ626   : 如果可以直接找例子當然是最好啦 不過還是給個想法