推 wayne2011 : 哈~有點像是我今天有考慮到的情況~但我還是寫不出來 06/24 18:54
※ 引述《semmy214 (黃小六)》之銘言：
: http://imgur.com/a/PiN3B
: 答案可以先公佈... 8
用牛刀來割個雞。
2 sin7θ
令 f(sin θ) = ─────，另外定義 f(0) = 7。
sinθ
這個定義沒問題而且是連續的，最重要的是，f 還是三次多項式。
（關鍵字：Chebyshev polynomial of the 2nd kind of order 7）
可以自己慢慢展開，不難但繁。
（不懂Chebyshev polynomial的話，用展開的可以直接驗證 f 是三次多項式。）
也可以去算幾個數字：
代入 θ = π/2、π/4、π/6 會發現 f(1) = f(1/2) = f(1/4) = -1。
所以 f(x) = a(1-x)(1-2x)(1-4x) - 1
又 f(0) = 7 所以 a = 8
即 f(x) = 8(1-x)(1-2x)(1-4x) - 1 = -64x^3 + 112x^2 - 56x + 7
然後這跟我們的題目有什麼關係呢？
代入 θ = π/7、2π/7、3π/7 會發現
2 2 2
f(sin π/7) = f(sin 2π/7) = f(sin 3π/7) = 0
而且顯然三個數字都不相同，所以我們找到了 f(x) = 0 的三個根。
所求 = 三根倒數和 = 56/7 = 8
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