推 JI1 : 1 + 1 = 2, 2 + 1 = 3, 3 + 2 = 5, 6 - 4 = 2,1-1=0 06/28 08:57
→ cuttlefish : 推 06/29 00:14
※ 引述《cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)》之銘言：
: 圓內接四邊形ABCD, 試證|AB-CD| + |AD-BC| >= 2|AC-BD|.
: 其中AB表線段AB的長度, 其他同.
: Thx
三角函數直接做雖然有點累，但真的做得出來。
看完底下的過程後還會知道，原命題不夠強，也就是有更強且更好證的命題。
以下用了餘弦定理，但比較好看一點點。
過 A、B 分別作 CD 的垂線，並令垂足為 E、F。
則 AB ≧ EF ＝ CD - ADcosD - BCcosC
（EF 是兩條垂線之間的最短距離）
同乘 2CD 後，再同加 AD^2 + BC^2，
得 AD^2 + BC^2 + 2AB*CD ≧ AD^2 + CD^2 - 2CD*ADcosD + BC^2 + CD^2 - 2CD*BCcosC
＝ AC^2 + BD^2
根據托勒密定理，減去 2AB*CD + 2AD*BC ＝ 2AC*BD，
得 AD^2 + BC^2 - 2AD*BC ≧ AC^2 + BD^2 - 2AC*BD
開平方得 |AD-BC| ≧ |AC-BD|
同理可得 |AB-CD| ≧ |AC-BD|
兩式相加即為所求。
加贈等號成立的條件：AB ＝ EF <=> AB // CD，同理得 AD // BC
即 四邊形ABCD 為平行四邊形 <=> 矩形。
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