Re: [幾何] 不等式

[XII (Mathkid)]

※ 引述《cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)》之銘言：
: 圓內接四邊形ABCD, 試證|AB-CD| + |AD-BC| >= 2|AC-BD|.
: 其中AB表線段AB的長度, 其他同.
: Thx

以下用國中方法

設 AC 交 BD 於 X

Claim. |AB-CD|≧|AC-BD|, 且等號成立 iff AB = CD

proof.

  因 △XAB~△XDC, 可設 AB = x, XA = y, XB = z, DC = kx, XD = ky, XC = kz

  由 x > |z-y| 可得

  |AB-CD| = |k-1|x ≧ |k-1||z-y| = |(y+kz)-(z+ky)| = |AC-BD|

  且等號成立 iff k = 1 iff AB = CD

  QED

同理可證 |AD-BC|≧|AC-BD|, 且等號成立 iff AD = BC

故 |AB-CD|+|AD-BC| ≧ 2|AC-BD|

且等號成立 iff AB = CD 且 AD = BC iff ABCD 為矩形

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※ 編輯: XII (140.122.136.45), 06/28/2017 13:36:36
※ 編輯: XII (140.122.136.45), 06/28/2017 13:40:31
推 Vulpix      : 推。看到了XD更要推。
推 cuttlefish  : 推