→ Vulpix : 跑excel的結果，看來|a_k|會遞減，而且是交錯的。 07/02 20:48
→ Vulpix : 有這兩個性質的話，就不用跑25種情況那麼多了。 07/02 20:48
→ Vulpix : 再加一條，a_k 有非 0 項的話就會停在 1。 07/02 21:07
→ Vulpix : 不過不證這三個性質也能做完，我就不管他們了。 07/02 21:08
※ 引述《Vulpix (Sebastian)》之銘言：
: ※ 引述《cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)》之銘言：
: : 標題: [代數] 多項式2
: : 時間: Fri Jun 30 14:00:46 2017
: : 試證明對於每一個整數n, 存在唯一的多項式P,
: : 使得其係數在{0,1,2,...,9}之中且滿足P(-2)=P(-5)=n.
: : 謝謝
: 構造順序：
: 1. 先利用 P(-2)=P(-5)=n 做一個長得很像的冪級數。
: 2. 說明冪級數項數有限，所以是多項式。
: 設 P(x) = (x+2)(x+5)Q(x) + n
: 其中 Q(x) = Σ_{k=0}^{∞} a_k*x^k 是一個冪級數
: => P(x) = (10a_0 + n) + (10a_1 + 7a_0)x + (10a_2 + 7a_1 + a_0)x^2 + ...
: => 10a_0 + n、10a_1 + 7a_0、10a_{k+2} + 7a_{k+1} + a_k 都在 {0,1,2,...,9} 之中
: => a_0 = n 除以 -10 的商
: a_1 = 7a_0 除以 -10 的商
: a_{k+2} = 7a_{k+1} + a_k 除以 -10 的商
這一段修改了一點，之前寫的除法錯了。
: i) 可利用數學歸納法證明：
: -2 - n/6/(-2)^k + n/15/(-5)^k < a_k < 2.5 - n/6/(-2)^k + n/15/(-5)^k
0 ≦ 10a_0 + n ≦ 9 => -n/10 ≦ a_0 ≦ (9-n)/10
=> -2 - n/10 < a_0 < 2.5 - n/10
0 ≦ 10a_1 + 7a_0 ≦ 9 => -7a_0/10 ≦ a_1 ≦ (9 - 7a_0)/10
=> 7(n-9)/10/10 ≦ a_1 ≦ (9 + 7n/10 )/10
=> -0.63 + 0.07n ≦ a_1 ≦ 0.9 + 0.07n
=> -2 + 0.07n < a_1 < 2.5 + 0.07n
先計算 -7a_{k+1} - a_k 的範圍：
-7( -n/6/(-2)^(k+1) + n/15/(-5)^(k+1) ) - ( -n/6/(-2)^k + n/15/(-5)^k )
= 10( -n/6/(-2)^(k+2) + n/15/(-5)^(k+2) )
=> -7a_{k+1} - a_k < 16 + 10( -n/6/(-2)^(k+2) + n/15/(-5)^(k+2) )
-7a_{k+1} - a_k > -20 + 10( -n/6/(-2)^(k+2) + n/15/(-5)^(k+2) )
0 ≦ 10a_{k+2} + 7a_{k+1} + a_k ≦ 9
=> 10a_{k+2} < 9 + 16 + 10( -n/6/(-2)^(k+2) + n/15/(-5)^(k+2) )
10a_{k+2} > -20 + 10( -n/6/(-2)^(k+2) + n/15/(-5)^(k+2) )
=> a_{k+2} < 2.5 + 10( -n/6/(-2)^(k+2) + n/15/(-5)^(k+2) )
a_{k+2} > -2 - n/6/(-2)^(k+2) + n/15/(-5)^(k+2)
略繁雜，可是計算其實很簡單。
至於公式是怎麼猜出來的？當然是試了很久才弄到的啊。
: 所以當 k 夠大的時候，a_k 只能是 -2,-1,0,1,2
: ii)考慮 a_N 和 a_{N+1} 都在 {-2,-1,0,1,2} 之中的 25 種情況
: 可以計算得到從 a_{N+5} 開始，a_k 都是 0
這邊我程式碼有一點錯，也改了。
隨便抓一個情況來算算看：a_N = 2, a_{N+1} = -2
=> a_{N+2} = 7*(-2) + 2 除以 -10 的商 = 2
=> a_{N+3} = 7*2 + (-2) 除以 -10 的商 = -1
=> a_{N+4} = 7*(-1) + 2 除以 -10 的商 = 1
=> a_{N+5} = 7*1 + (-1) 除以 -10 的商 = 0
=> a_{N+6} = 7*0 + 1 除以 -10 的商 = 0
以後的 a_k 就都是 0 了
25 種情況：(從 a_N 開始列)
-2,-2,2,-1,1,0,0,...
-2,-1,1,1,0,0,...
-2,0,1,0,0,...
-2,1,0,0,...
-2,2,-1,1,0,0,...
-1,-2,2,-1,1,0,0,...
-1,-1,1,0,0,...
-1,0,1,0,0,...
-1,1,0,0,...
-1,2,-1,1,0,0,...
0,-2,2,-1,1,0,0,...
0,-1,1,0,0,...
0,0,...
0,1,0,0,...
0,2,-1,1,0,0,...
1,-2,2,-1,1,0,0,...
1,-1,1,0,0,...
1,0,0,...
1,1,0,0,...
1,2,-1,1,0,0,...
2,-2,2,-1,1,0,0,...
2,-1,1,0,0,...
2,0,0,...
2,1,0,0,...
2,2,-1,1,0,0,...
: i、ii 這兩段苦工的繁雜計算可以由電腦代勞
: 所以 Q(x) 是多項式，P(x) 亦然，此 P 即為所求之唯一多項式。
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