推 urwhisper : 感謝您詳盡的解說：） 07/06 11:26
※ 引述《urwhisper (你的耳語)》之銘言：
: http://i.imgur.com/Z1gG5HH.jpg
: 不好意思又來麻煩大家
: 這題算出2圈以後
: 可是解答是寫2（公轉）+1（自轉）
: 請問該怎麼解釋呢？
: 如蒙解惑，不勝感激
跟小朋友解釋： 拿兩個相同硬幣出來 A固定 B繞A一圈 看B轉多少圈
B○ B
A● ●○ ●
↖ ○B 這時候B自己已經轉一圈了
這時候B已經
轉180度了 所以B回到原點會多繞一圈
數學證明： 接觸點所走的長度是一樣的
要先從直線擺線的概念開始 擺線的種類有很多 基本的就下面兩種
y
↑
○
■■■■■■■■ 半徑r圓盤在水平面上滾
dx
當接觸點移動dx時 圓盤走了dx=rdθ 所以dx=rdθ θ為小圓的圓心角相對於y軸
x 2π
因此圓盤繞n圈時 以積分的方式計算距離可得 ∫dx=∫rdθ x=2πr
0 0
上面是很多人很容易懂的方式 但是實際上是因為直線擺線是特例
他是相對於曲率半徑無限大的圓才可以這樣算 實際上是要以圓心所走得距離來計算
若dx不再是水平直線而是外擺線 如他是一個大弧線S或大圓R
可以想像把上面水平段凹成圓形跟小圓外切
○r
▂▃▄▅▆▇█▇▆▅▄
███████████R R>r
小圓走rdθ距離 大圓或大弧長會走Rdα或dS 為了方便證明 弧線不考慮之
弧線的部份是為了證明共軛曲線 那邊很煩
α是大圓對應的圓心角 兩者是不會相等的 α=\=θ
所以rdθ=(R+r)dα <==這邊是關鍵 小圓圓心走的距離才是實際距離
＼
＼←小圓圓心走的軌跡
﹨
﹨ ╱ ﹨
α ﹨ ╱ θ﹨
----------||-----------------)
R r
因此如果小圓走一圈的時候 兩邊積分可得
α 2πr
2πr=∫(R+r)dα=Rα 因此α= ----- 這個關係式說明小圓繞一圈之後
0 R+r 接觸點相對於大圓的圓心角α之大小
同理 小圓走兩圈 α=2*2πr/(R+r) 因此定義N圈 小圓走N圈時
α=N*2πr/(R+r) N為整數 N代表實際繞的圈數 N=(R+r)α/(2πr)
若要繞回原點 則小圓需要走2πR 此時α=2π
因此N=(R+r)/r = R/r + 1 圈
這就是為什麼會多繞一圈的原因 關鍵在軌跡的計算
那邊蠻抽象的 看不懂圖就google擺線 有很多文章
因此當繞的外型不是圓形 比如是正方形b 同樣的方式去計算一樣可以得解
在轉角的地方小圓在圓心的地方會多轉了90度 但是切點是不會變得
這就是為什麼一般人在這部份很容易搞混的地方
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