[分析] the alternating harmonic series

[cyt147 (大叔)]

大家好! 有個問題想請教各位:

我想證明1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7+...≦1-1/2+1/3

目前已看出

-1/4+1/5<0
-1/6+1/7<0
.
.
.

接下來我想用"A sequence converges to L iff every subsequence converges to L"

這邊的sequence指的是sequence of partial sums，畢竟，級數收斂的定義就是

部分和數列收斂。

好!說重點，我需要證明"若遞減數列收斂，則數列的極限不大於首項"，直覺上很簡單，

但我完全不知該如何寫出嚴格的證明(epsilon-N之類的)，懇請賜教，感謝!

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推 znmkhxrw    : -1/4+1/5-1/6+1/7+...< 0 可以直接看出來呀
→ znmkhxrw    : -1/4<0 因負數<0 , -1/4+1/5<0, 因負比正多
→ znmkhxrw    : -1/4+1/5-1/6=(-1/4+1/5)-1/6<0 因負+負
→ znmkhxrw    : -1/4+1/5-1/6+1/7=(-1/4+1/5)+(-1/6+1/7)<0 因負+負
→ znmkhxrw    : 接著跑下去就是了
→ cyt147      : 謝謝，這我看的出來，但我想走極限這條路
推 znmkhxrw    : 你會證這個:if a_n≦M, a_n→L then L≦M
→ znmkhxrw    : 那就出來了
總之，謝謝各位! 後來用了有界單調數列定理，舒服多了。根據定理，收斂的遞減數列

會收斂到值域的最大下界i，既然i是下界，它當然不會超過任何一項，包括首項。
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 07/05/2017 23:19:01
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 07/05/2017 23:20:23
→ Vulpix      : 你原本想用的定理完全用不上，因為你想用的那一邊是
→ Vulpix      : 顯然正確的那一邊(<=)。
抱歉，不太懂你的意思。我的策略是這樣的:

先用交錯級數測試證明the alternating harmonic series收斂，然後令
它的和為S，也就是令部分和數列S_n收斂到S。

根據定理，S_3,S_5,S_7,...這個subsequence也會收斂而且收斂到S，
接下來看到這個subsequence遞減。

According to the previous dicussion, the limit S of this subsequence cannot

exceed its first term S_3. The result follows. Am I right?
※ 編輯: cyt147 (123.193.88.184), 07/06/2017 07:58:54
→ Vulpix      : 這樣啊……可是你在證的東西差不多就是交錯級數審斂
→ Vulpix      : 法的最重要環節，所以我會覺得這個作法有點迂迴。
你說的沒錯，一般的初微教科書(Thomas...等等)在談交錯級數測試時會順便給出級數和
的estimate，但因為忘光了，實在懶得回頭看，只想從最近念的東西出發，這一切就這麼
發生了...
※ 編輯: cyt147 (140.122.140.36), 07/06/2017 11:21:29
推 RicciCurvatu: 這很顯然不是嗎...