[分析] 從積分值恆等反推兩函數恆等

[alan23273850 ()]

各位版友大家好，我有一個有關微積分的問題想請教各位：

問題大概是這樣的，最近在複習數位訊號處理時遇到下面

兩個等式，裡面只有 n 是自變數，其他都是常數，而上下

兩式確定隨便代入任何一個 n 都會有一樣的值，想請問

要怎麼反推在積分範圍(-pi/T ~ pi/T)下兩個畫紅色底線

的函數會完全相等呢？有什麼理論基礎可以證明這件事嗎？

因為是應用性的課本就直接寫它們一樣了，沒有任何推導，

所以才來版上發問，先謝謝願意解惑的大大了！

(不用很詳細沒關係，有 keyword 我也可以自行尋找材料)

https://i.imgur.com/xbMK2qU.png

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→ Pieteacher  : f=g almost everywhere! 翻些實變的書有
謝謝！我有學過這個，但是這樣會變成兩函數有可能不完全一樣耶，
這個答案讓我覺得更驚恐了！（抖
因為按照dsp理論應該是要完全一樣的
※ 編輯: alan23273850 (111.82.134.153), 07/10/2017 12:56:49
是說經過z大提醒，其實這兩個中括號內函數都算是複變函數嗎？不知道有沒有差
推 a21802      : 誰說積分一樣 原函數一定一樣了
推 znmkhxrw    : 幾個問題：
→ znmkhxrw    : 1.你的j只是一個常數? j,T都是常數?
→ znmkhxrw    : 2.等號右邊的X與X_c是?? 不用理他?
→ znmkhxrw    : 3.TX(e^(jOT))直接看成是f(O) ?? 下式紅線亦如此?
1. j就是i=sqrt(-1),會寫成j是因為怕跟EE領域的電流搞混
T也是常數，固定週期
但n是整數變數，也就是說代隨便一個整數進去,兩個積分值都要一樣
2. 目前就先當作兩個不同函數就好,或者直接把中括號裡面一整陀看成一個函數更好
3. 的確是如此，只跟自變數omega有關
先感謝z大提醒，應該先整理成乾淨的形式再po出來比較好。
不過其實P大似乎已經提供一個反例了,almost everywhere會讓積分相等但函數不相等,這
部分我會再想一下,先感謝各位大大的解答！
另外補充，其實這兩個等式有其他較標準的證法,這本課本不知道為什麼使用我貼的那種
方法證,所以目前我只會把它當作verify而非proof。
※ 編輯: alan23273850 (111.82.134.153), 07/10/2017 18:02:10
※ 編輯: alan23273850 (111.82.134.153), 07/10/2017 18:16:26
推 arthurduh1  : Fourier transform?
是，這兩個式子的目的是為了證明取樣後訊號的頻譜是取樣前訊號頻譜的平移疊加。
※ 編輯: alan23273850 (111.82.134.153), 07/10/2017 18:46:13
→ arthurduh1  : 是的話, 那它的唯一性就會是嚴格的證明
→ arthurduh1  : 訊號應該是不考慮 measure zero 的不相等?
→ arthurduh1  : 也就是說 a.e. 相等的函數在訊號的角度就是同一個
的確，我剛開始也忽略掉了連續性的問題，感謝 a大 提醒！
但是即便如此，還是需要有一些額外的定理，
才能證明只要出現 non measure-zero 不相等的
兩個函數就一定會讓積分值不同。
※ 編輯: alan23273850 (1.168.85.157), 07/10/2017 23:40:00
→ arthurduh1  : 當然需要額外定理啊XD  但他的前提→推論是正確的
→ arthurduh1  :  z 大的文你看懂了, 應該也沒問題了
真的～ 版上一堆強者，能獲得解答真的令人感動，只是我覺得課本應該也稍微寫一下
用了哪個定理，不然讓我想很久。
※ 編輯: alan23273850 (1.165.40.101), 07/11/2017 18:08:54
※ 編輯: alan23273850 (218.32.118.154), 10/09/2017 13:42:55