Re: [微積] 從積分值恆等反推兩函數恆等

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《alan23273850 ()》之銘言：
: 各位版友大家好，我有一個有關微積分的問題想請教各位：
: 問題大概是這樣的，最近在複習數位訊號處理時遇到下面
: 兩個等式，裡面只有 n 是自變數，其他都是常數，而上下
: 兩式確定隨便代入任何一個 n 都會有一樣的值，想請問
: 要怎麼反推在積分範圍(-pi/T ~ pi/T)下兩個畫紅色底線
: 的函數會完全相等呢？有什麼理論基礎可以證明這件事嗎？
: 因為是應用性的課本就直接寫它們一樣了，沒有任何推導，
: 所以才來版上發問，先謝謝願意解惑的大大了！
: (不用很詳細沒關係，有 keyword 我也可以自行尋找材料)
: https://i.imgur.com/xbMK2qU.png

從你的推文我聯想到這個定理:stone-weierstrass theorem

但我不知道你對高微認識多少 因此下面當作聽個故事
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首先你應該知道

 b         b
∫ f(x) = ∫ g(x) 根本不可能得到f=g，即便f與g都是連續
 a         a

但！如果

 b            b
∫ f(x)x^n = ∫ g(x)x^n for all n>=0
 a            a

那 恭喜你 只要f跟g是連續函數，就可以得到f=g everywhere

這是"Weierstrass approximation theorem"很典型的應用

這個定理說任何定義在[a,b]的連續函數f，必可以找到一群多項式P_n去均勻逼近

即S := {any finite linear combination of x^n:n>=0 ,x€[a,b]} 稠密於C[a,b]

稠密顧名思義就是任取某個f€C[a,b](定義在[a,b]的連續函數)，要多近就有一個夠

近的linear combination of x^n 靠近f，而linear combination of x^n就是多項式


這個你大致知道的話，stone-weierstrass theorem更廣了，剛剛你看到S是x^n的線性

組合，那是否有其他種類的函數收集起來也可以逼近C[a,b]呢？

有！只要集合滿足此定理"需要的條件"(見以下連結)，就可以

https://en.wikipedia.org/wiki/Stone%E2%80%93Weierstrass_theorem


而這個網頁你搜尋一下"The theorem has many other applications to analysis,

including:Fourier series:............."這邊

{e^(2πin), n€Z}的線性組合稠密於C([0,1]/{0,1})

(這邊[0,1]/{0,1}是[0,1]兩端點看做一個點黏起來變成一個封閉圓)

而剛好你照片裡的函數經由 x=(2π/T) y 就是在e^(2πin)在[-1/2,1/2]的積分
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概念大致上是這樣 嚴格證明因為我沒跑過就交給你了XD

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推 pentiumevo  : 推同學的優質好文
推 alan23273850: 感謝 z 大花一大把時間打出來的解答！
→ alan23273850: 不得不說，其實這就是我要的100%正解，完全切中要害
→ alan23273850: 因為我那篇忘記把 "for all n" 這句話標色，也忘記
→ alan23273850: 提到後面有e^(jOTn)這個共同項卡位，重點便不清晰。
→ alan23273850:
→ alan23273850: 說到高微，我只有修上學期，所以沒接觸過這個定理XD
→ alan23273850: 修完覺得還挺開心的，除了成績不錯，也覺得這門科目
→ alan23273850: 真的有訓練到邏輯思考，有見微知著之感，但是因為過
→ alan23273850: 程實在太痛苦了，花太多時間在上面，CP 值有點低，
→ alan23273850: 就沒有繼續修下學期。
→ alan23273850:
→ alan23273850: 大大的解說很生動我很喜歡，等等發錢給你 XD
→ alan23273850: PTT 的高手雲集真是令人感到讚嘆！
→ znmkhxrw    : 別...別那麼激動XDDD
→ znmkhxrw    : 高微別把他當科目啦 你如果是興趣自選反而最好
→ znmkhxrw    : 高微可以用來解釋很多工科要你背的式子
→ znmkhxrw    : 個人覺得有趣的點在這裡 專門解釋原因的教材