[分析] lim(1+x/n)^n建構exp(x)某個步驟

[znmkhxrw (QQ)]

昨天拿起之前建構的過程看一下 突然發現一個bug 想請問一下

Let a_n(x):=(1+x/n)^n already proved to be convergent, say a(x)

如何不用到指對數函數去證明

(a) a(x+y)=a(x)a(y)

或

(b) a(x)>0 for any x€R

或

(c) (1+x/n^2)^n → 1 for any x€R


因為我已經有(a)=>(b)=>(c)=>(a)

只要其中一個對，那其他全部OK了

再次強調一下，指數函數的連續性、取log、指數或是對數的羅畢達、

(1-x/n)^n = 1/(1+x/(n-x))^(n-x) * 1/(1+x/(n-x))^n

以上這些指數有出現非整數的全部都不能用

因為我就是要用a(x)去造指數

----------以下整個來龍去脈----------------------------------------------

先附上流程：

Let a_n(x):=(1+x/n)^n , x€real numbers

Then we can show

(1) a_n(x) is convergent, say a(x)

(2) a(x+y)=a(x)a(y)

(3) a(x) is continuous on R

(4) a(x) is differentiable on R with a'(x)=a(x)

接著由以上(1)~(4)與a(x)>0

可以證明a：R→(0,∞) is one-to-one and onto，接著就完成了


我的bug出在a(x)>0是由(2)證的，這樣就可以知道a(-p)=1/a(p)>0

但是 a(x+y)=a(x)a(y)的證明我當時miss掉一件事：他需要a(x)>0....

因為a(x)a(y)=lim (1+(x+y)/n+xy/n^2)^n

    a(x+y)  =lim (1+(x+y)/n)^n

只要我們能證明 lim (1+c/n+d/n^2)^n = a(c) , for any c,d€R (即d/n^2無貢獻)

那a(x+y)就會等於a(x)a(y)

而為了證明黃色式子，把左除以右相除得到lim (1+d/(n^2+nc))^n

接著考慮c,d正負以及運用夾擠定理，只要我們能證明lim (1+x/n^2)^n = 1 for any x

那黃色就成立，因此a(x+y)就會等於a(x)a(y)


很不幸的，當時綠色我直接trivial過去，但要說明極限是1的過程中

綠色=lim (a_n(x))^(1/n) 要等於1的話，前提lim a_n(x) = a(x) 必須要正的

這就是我為什麼說用a(x+y)=a(x)a(y)去證明a(x)>0是循環論證

(<lemma> if    a_n>0 , a_n→p>0
         then (a_n)^1/n → 1    )


因此，我才問開頭的問題，(a)(b)(c)只要有一者獨立被證出，一切就結束了

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謝謝!

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推 Vulpix      : For non-negative x,a_n(x)=(1+x/n)^n≧1 for all n
→ Vulpix      : so we have a(x)≧1>0 for non-negative x。
→ Vulpix      : For negative x，a_n(x)≧(1-[x]/n)^n if n≧|[x]|
→ Vulpix      : 更正            a_n(x)≧(1+[x]/n)^n
→ Vulpix      : a_n(x)≧(1+[x]/n)^n = 1/(1+m/(n-m))^n, m=-[x]
→ Vulpix      : (1+m/(n-m))^n= (1+m/(n-m))^(n-m) * (1+m/(n-m))^m
→ Vulpix      : (1+m/(n-m))^(n-m)→a(m)>0, (1+m/(n-m))^m→1^m=1
→ Vulpix      : and hence a(x)>0 for negative x.
→ znmkhxrw    : soga!! 沒想到這方向 謝謝V大!!
推 Vulpix      : 其實我有點好奇，你收歛性怎麼證的XD
→ Vulpix      : 通常用遞增且有上界的時候也會用到這個手法。
欸我收斂性沒用到你這個耶(把x用附近的整數去做比較)

V大你這個idea應該是：因為還沒有整數之外的次方，所以拿旁邊的整數來比較

                     而整數的次方已經well-defined了

我證收斂如下：
                          n
Let a_n(x)如上，b_n(x) =:Σ x^k/k!
                         k=0

考慮n>=2
                              n
Then a_n(x)=(二項式展開)=1+x+Σ (x^k/k!)(1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n)
                             k=2

                       :=E_n(x)+O_n(x) , 偶數項+奇數項 for any x€R

(會這樣拆是為了x<0的收斂性)

則

(1) x=0：a_n(x) = 1

(2) x>0：a_n(x)↗ < b_n(x), 而b_n(x)收斂
         因此a_n遞增有上界於是收斂

(3) x<0：write x=-y, y>0

         a_n(-y) = E_n(y)-O_n(y)

         而對於y>0我們本來就有 E_n(y),O_n(y)↗ < b_n(y) 因此又收斂

         所以a_n(-y)收斂

以前我都不知道怎麼處理x<0，就是在這次整個定義exp的過程中想到這招

但是好像都沒用到V大你說的那步@@??
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.22.62), 07/11/2017 18:02:03