Re: [分析] lim(1+x/n)^n建構exp(x)某個步驟

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《znmkhxrw (QQ)》之銘言：
: 推 Vulpix      : 其實我有點好奇，你收歛性怎麼證的XD                07/11 16:58
: → Vulpix      : 通常用遞增且有上界的時候也會用到這個手法。        07/11 16:59
:
: 欸我收斂性沒用到你這個耶(把x用附近的整數去做比較)
:
: V大你這個idea應該是：因為還沒有整數之外的次方，所以拿旁邊的整數來比較
:
:                      而整數的次方已經well-defined了
:
: 我證收斂如下：
:                           n
: Let a_n(x)如上，b_n(x) =:Σ x^k/k!
:                          k=0
:
: 考慮n>=2
:                               n
: Then a_n(x)=(二項式展開)=1+x+Σ (x^k/k!)(1-1/n)(1-2/n)...(1-(k-1)/n)
:                              k=2
:

這個展開也好漂亮啊。

:                        :=E_n(x)+O_n(x) , 偶數項+奇數項 for any x€R
:
: (會這樣拆是為了x<0的收斂性)
:
: 則
:
: (1) x=0：a_n(x) = 1
所以 a(x) 也等於 1 => a(x)>0。

:
: (2) x>0：a_n(x)↗ < b_n(x), 而b_n(x)收斂
:          因此a_n遞增有上界於是收斂
這邊就可以肯定 a_n(x)↗a(x)>0 了。

:
: (3) x<0：write x=-y, y>0
:
:          a_n(-y) = E_n(y)-O_n(y)
:
:          而對於y>0我們本來就有 E_n(y),O_n(y)↗ < b_n(y) 因此又收斂
:
:          所以a_n(-y)收斂
:
: 以前我都不知道怎麼處理x<0，就是在這次整個定義exp的過程中想到這招
:
: 但是好像都沒用到V大你說的那步@@??

大概是以前我被玩壞了XD

看到 exp 的定義都從算幾不等式開始……

以下都已經將指數推廣到有理數了。

(正整數→0→整數→有理數，這個過程已經標準到不能更標準了。)


a_n(x) = (1+x/n)^n

當 n≧-[x]，拿 n 個 1+x/n 和 1 個 1 去做算幾不等式：

    ( n*(1+x/n) + 1 )/(n+1) > ( (1+x/n)^n*1 )^(1/(n+1))

    不等式的兩側只有在 x=0 會相等，我就先拿掉等號了。

馬上得到 a_(n+1)(x) > a_n(x) for all x, n≧-[x]

所以 a_n(x) 從第 max(1,-[x]) 項開始一定遞增


當 n≧-[x]，顯然 a_n(x) < a_n([x]+1) 然後右邊這東西收斂到 e^([x]+1)。

    計算 e^([x]+1)：

    a_n([x]+1) = ( 1+([x]+1)/n )^n

               = ( ( 1+([x]+1)/n )^(n/[x]+1) )^([x]+1)

    先只考慮不比 1 小的 x 還有那些是 [x]+1 的倍數的 n，

    所以 a_n([x]+1) 有一個收斂到 e^([x]+1) 的子數列。

    但 a_n([x]+1) 遞增，所以 a_n([x]+1) < a_(n[x]+n)([x]+1)，

    右邊是一個遞增到 e^([x]+1) 的數列，所以左邊的數列有上界，因而收斂。

    收斂又只能收斂到自己的收斂子數列的極限，也就是 e^([x]+1)。

    [x]=0 的話，a_n([x]+1)=a_n(1)→e 是標準的。

    [x]=-1 的情形則是一串 1 收斂到 1，顯然沒錯。

    [x]<-1 的話，只消知道 (1-1/n)^n→1/e 就可以套用 x 非負的情況。

所以 e^([x]+1) 就可以當後面那些 a_n(x) 的上界。

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※ 編輯: Vulpix (111.243.89.49), 07/11/2017 18:47:53
※ 編輯: Vulpix (111.243.89.49), 07/11/2017 19:19:29
※ 編輯: Vulpix (111.243.89.49), 07/11/2017 19:47:58
※ 編輯: Vulpix (111.243.89.49), 07/11/2017 21:16:16
推 znmkhxrw    : 1.那個展開是大一微積分老師教的 他展x=1
→ znmkhxrw    : 我當時仿造所有x>0都對 但是x<0就馬上止步了
→ znmkhxrw    : 因為x<0無法從那展開看出單調性
→ znmkhxrw    : 因此x<0時我才分奇偶項去處理
→ znmkhxrw    : 2.a(x)>0在x>=0一直都很trivial 問題就是在x<0 QQ
→ znmkhxrw    : 3.所以V大你在我那篇推文說的方法 就是專門處理x<0?
一直都是處理全case。
推 znmkhxrw    : 4.a_n(x) < a_n([x]+1) 這個式子 右邊還不知道
就猜到你要問這個，證了。
→ znmkhxrw    : 是否收斂吧?? 你最後面那段不是要證a_n(x)收斂x<0 ?
→ znmkhxrw    : 直接用a_n(x) < 1 for all x and n就好了??
我要證的是 a(x) 的存在性。
※ 編輯: Vulpix (111.243.89.49), 07/11/2017 21:23:43
→ Vulpix      : 只是把另一個證明 a_n(x) 收斂的寫法寫出來讓你看。
推 znmkhxrw    : 看我理解有沒有誤
→ znmkhxrw    : 1.用算幾不等式證明a_n(x)在n夠大會遞增 for all x
→ znmkhxrw    : 2.x>0時 a_n(x)的上界就研究a_n([x]+1)
→ znmkhxrw    : 但x<0 是否如我說的直接用 a_n(x)<1的1當上界就好?
可以。
→ znmkhxrw    : 你回我"我要證的是 a(x) 的存在性。" 看不懂@@
"a(x) 的存在性" 就是 "a_n(x) 都會收斂"
※ 編輯: Vulpix (111.243.89.49), 07/11/2017 21:34:53
→ znmkhxrw    : 我的意思就是x<0時 a_n(x)遞增有上界1
推 znmkhxrw    : 好 謝謝
※ 編輯: Vulpix (111.243.89.49), 07/11/2017 23:59:49