※ 引述《JianMing (小明)》之銘言：
: ※ 引述《WRD (旅行是我的神)》之銘言：
: : http://imgur.com/IhR3kIB
: : 我只有想到用斜率tan去算
: : 但這是國中題目
: : 不知道有什麼更直觀的解法嗎
: 先證明 tan(27°)tan(87°)tan(21°)tan(15°)=1
: proof:
: (1):
: sin(27°)sin(87°)sin(21°)sin(15°)
: =1/2(cos(60°)-cos(114°)) 1/2(cos(6°)-cos(36°))
: (2):
: cos(27°)cos(87°)cos(21°)cos(15°)
: =1/2(cos(60°)+cos(114°)) 1/2(cos(6°)+cos(36°))
: (1)-(2):
: sin(27°)sin(87°)sin(21°)sin(15°)
: -cos(27°)cos(87°)cos(21°)cos(15°)
: =-1/2(cos(60°)cos(36°)+cos(114°)cos(6°))
: =-1/2(1/2cos(36°)+1/2(cos(120°)+cos(108°)))
: =-1/4(cos(36°)+cos(120°)+cos(108°))
: =-1/4((√5+1)/4-1/2-(√5-1)/4)=0
: 所以tan(27°)tan(87°)tan(21°)tan(15°)=1 得證
: 若tan(27°)tan(87°)tan(21°)tan(x)=1 (0°<x<90°)
: 可得tan(x)=tan(15°)
: x=15°
寫成證明
可能太過隆重了點
不妨設A=pi/60
tanA=tan5A*tan7A*tan9A
改寫一下
sinAcos5Acos7Acos9A=cosAsin5Asin7Asin9A
sin5Asin7Asin9Asin29A=cos5Acos7Acos9Acos29A
(cos2A-cos12A)(cos20A-cos38A)=(cos2A+cos12A)(cos20A+cos38A)
2cos12Acos20A+2cos2Acos38A=0
cos8A+cos32A+cos36A+cos40A=0
cos8A+cos32A+cos36A=1/2
2cos12Acos20A+cos36A=1/2
cos12A+cos36A=1/2
cos12Acos24A=1/4
其中cos(pi/5)=[(sqrt5)+1]/4,cos(2pi/5)=[(sqrt5)-1]/4.
可求出
角BCA=5A=pi/12...ans
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