推 sagwow : 感謝! 如果用第二種解讀，我算出來的答案也一樣! 07/17 21:07
→ sagwow : 太感謝了xD 07/17 21:07
※ 引述《sagwow (不是我)》之銘言：
: ※ [本文轉錄自 Statistics 看板 #1PQnCkqj ]
: 作者: sagwow (不是我) 看板: Statistics
: 標題: [問題] 跟條件機率有關的問題
: 時間: Sun Jul 16 15:18:03 2017
: 這問題想了很久，想不出個頭緒，又沒人能問，求各位高手幫解Q__Q
: 某人上班途中必須通過幹道路口的兩個交通號誌。
: 根據以往經驗他在第一與第二個路口遇上紅燈的機率分別等於0.4 與 0.6；
: 已知在第一個路口碰上紅燈的條件下第二個路口還是遇上紅燈的機率等於0.8；
: 已知在第一個路口碰上綠燈的條件下第二個路口也是遇上綠燈的機率等於0.3。
: (一)計算他任何一次上班途中至少碰上一個紅燈的機率。
: (二)求第二個路口遇上綠燈的總和機率(Total Probability)。
: (三)求已知在第二個路口碰上綠燈的條件下第一個路口遇上紅燈的機率。
: 第一題我的解法就是： (一紅：第一個路口遇到紅燈 二紅：第二個路口遇到紅燈)
: P(二紅|一紅)=P(二紅∩一紅)/P(一紅)
: 0.8=P(二紅∩一紅)/0.4 P(二紅∩一紅)=0.8*0.4=0.32
: P(至少碰上一個紅燈)=0.4+0.6-0.32=0.68
: 但總覺得哪裡不太對勁，然後另外兩題完全不知道怎麼解……求好心人幫忙
: 感恩!
這題後續沒很難, 關鍵是在題意判讀,
也就是 "在第一與第二路口遇上紅燈的機率分別等於 0.4 與 0.6" 這句
---[題意判讀]---
這句中文說得很模糊, 以下列出二種解讀可能, 歡迎大家補充其他可能 :
(PS : 為便於敘述而統一符號, 一紅二綠的事件稱為 RG, 其於類推 RR, GR, GG
即 P(RR) + P(RG) + P(GR) + P(GG) = 1)
CASE 1 : 第一路口紅 = 0.4, 第二路口紅 = 0.6, 分母為事件總數
(即 P(RR)+P(RG)=0.4, P(RR)+P(GR)=0.6 )
CASE 2 : 第一路口紅 vs 第二路口紅 = 0.4: 0.6, 分母為發生過紅燈的總數
(即 P(RR)+P(RG) / [ P(RR)+P(RG) + P(RR)+P(GR) ] = 0.4)
若為 CASE 1 : 則因為第二路口也紅的機率為 0.8,
故 P(RR)=0.4*0.8=0.32, P(RG)=0.4*(1-0.8)=0.08
而第一為綠, 之後也是綠為 0.3,
表示 P(GG)=(1-0.4)*0.3=0.18, P(GR)=(1-0.4)*(1-0.3)=0.42
但這樣我們可以發現 : P(RR)+P(GR) = 0.32 + 0.42 = 0.74 > 0.6
與一開始題目給的 : 第二路口紅=0.6 不合!!
為什麼會這樣!?
因為上述機率也才四個未知數, 而題目就給了四個條件
加上了四機率和為1的條件, 就是五個條件解四個未知數, 太多!!
所以我們才要開始考慮 CASE 2 的可能性
即使照中文慣例來說, 我也認為 CASE 1 才是較合理的解讀法...
這也就是您所提到 "總覺得哪裡不太對勁!!" 之處
若為 CASE 2 : 因為CASE 1 不可能, 開始思考其餘可能性
我們注意到了 0.4 + 0.6 = 1, 因此才考慮到有 CASE 2 的解讀方式
就是 "將所有經歷中紅燈的事件為分母", 一紅 : 二紅 = 0.4 : 0.6
這樣就把條件重新簡化為四個, 解四位知數就剛好了
---[解題過程]---
令 P(一R) = P(RR)+P(RG) = X,
則依敘述, P(RR) = 0.8*X, P(RG) = 0.2*X
而 P(一G) = P(GR)+P(GG) = 1-X
依敘述, P(GG) = 0.3*(1-X), P(GR) = 0.7*(1-X)
依照 CASE 2 解讀方式 P(RR)+P(RG) : P(RR)+P(GR) = 0.4 : 0.6
帶入得 ( 0.8*X + 0.2*X ) : ( 0.8*X + 0.7*(1-X) ) = 0.4 : 0.6
=> X : 0.7+0.1*X = 2 : 3
=> X = 0.5
帶回得 P(RR)=0.4, P(RG)=0.1, P(GR)=0.35, P(GG)=0.15
計算得 (一) = 1-P(GG) = 0.85
(二) = P(RG) + P(GG) = 0.1+0.15 = 0.25
(三) = P(RG) / (P(RG) + P(GG)) = 0.1 / 0.25 = 0.4
-----
個人覺得 這算是出得不理想的題目
因為即使可以由數字 可以想到真正的題意
但考數學就不該考人中文...有點掛羊頭賣狗肉之感
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.47.127.133
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1500222281.A.D31.html
※ 編輯: walkwall (114.47.127.133), 07/17/2017 00:26:15
※ 編輯: walkwall (114.47.127.133), 07/17/2017 00:35:50