[分析] Jordan curve同graph是equivalent

[znmkhxrw (QQ)]

想請問兩個Jordan curve α：[a,b]→C , β：[c,d]→C

如果Image of α = Image of β

是否能推出存在一個"連續絕對單調"函數 u：[a,b] onto [c,d] 使得 α(t)=β(u(t))
(我們說有如此關係的兩個curve 是equivalent，即參數間的變數變換)

==============以下是定義與來龍去脈===========================================

定義：

(1) α：[a,b]→C is said to be a Jordan curve if

    a.α is a curve (:= continuous on [a,b])
    b.α is one-to-one on [a,b)
    c.α(a)=α(b)

(2) α：[a,b]→R^n , β：[c,d]→R^n are two curves

    We say they are equivalent if

    there exists a continuous strictly monotonic function u：[a,b] onto [c,d]

    s.t. α(t)=β(u(t))

    (the same direction := u is increasing

     opposite direction := u is decreasing )

(3) α：[a,b]→R^n , β：[c,d]→R^n are two curves

    We say they have the same graph if

    Image of α = Image of β


會問這個問題的來源出自於複變的contour integral

從好幾年前學的時候都沒在意過

"對於同一條軌跡去積分，我的參數化VS你的參數化如果不一樣，那積出來會一樣嗎"

都把他當成一樣

最近好奇去想，也在Apostol找到幾乎99% (我的問題就是那1%)解決我疑問的定理：

-----------
<Thm 6.20>

Let α：[a,b]→R^n , β：[c,d]→R^n be two one-to-one curves

Then they are euivalent <=> they have the same graph

<Thm 16.4>

Let α：[a,b]→C , β：[c,d]→C be two equivalent curves

if    b
     ∫f(α(t))dα(t) exists, say A
      a

then  b
     ∫f(β(t))dβ(t) exists, say B, with A=B (same direction); A=-B(opposite)
      a
------------

有了這兩個定理，只要兩個C中的curves都是one-to-one而且graph相同

那積分值頂多差負號

問題來了...Jordan curve的one-to-one區域只有[a,b)與[c,d)

而這裡的差一個點，差非常的多，因為<Thm 6.20>中去構造u就是用α或β的反函數

而反函數要連續的話，要先確保原本函數的定義域是compact，否則會出錯

即：對於Jordan curve α，去利用α on [a,b) 去構造反函數α^-1

    α^-1在α(a)也不會連續

    例如 α(t) = cos(t)+isin(t) on [0,2π] 是一個Jordan curve

    但利用[0,2π)去做反函數α^-1(y)，當y越來越接近1+0i的時候，

    α^-1(y)卻是會同時向左靠近0與向右靠近2π

總之，我要的定理是：

<Theorem>

Let α：[a,b]→C , β：[c,d]→C be Jordan curves with the same graph

if    b
     ∫f(α(t))dα(t) exists, say A
      a

then  b
     ∫f(β(t))dβ(t) exists, say B, with A=B (same direction); A=-B(opposite)
      a

而我開頭問的問題如果成立，代表α與β會是equivalent

然後藉由Thm 16.4就直接導出我要的這個定理
*
以上是我為何要問這個問題的原因

謝謝解答！

(對了，我試過用[a,b-ε]然後利用Thm 16.4去逼，還是卡在反函數的連續性...)
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.19.59
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1500276843.A.AED.html
推 arthurduh1  : 有想過定義域為 circle 那個 Jordan curve 的定義嗎
→ arthurduh1  : 原點在哪不重要, 所以用 [a,b-ε] 去拼是可以的
→ arthurduh1  : 且 α, β 都是 bijective 到 graph
→ arthurduh1  : 應該說你找兩段閉區間去拼整個 circle 就好
欸欸a大!!! 你這個idea很棒耶 我幹嘛那麼蠢要去取limit XDD 直接拆開就好

想證以下定理

<Theorem>

Let α：[a,b]→C , β：[c,d]→C be Jordan curves with the same graph

if    b
     ∫f(α(t))dα(t) exists, say A
      a

then  b
     ∫f(β(t))dβ(t) exists, say B, with A=B (same direction); A=-B(opposite)
      a


pf：令共同的graph為S (C中的一個subset)

    定義β^-1：S → [c,d)

    現在任取一點x€(a,b)

    則

      b                  x                  b
     ∫f(α(t))dα(t) = ∫f(α(t))dα(t) + ∫f(α(t))dα(t)
      a                  a                  x
                     ↑
    (此處拆開成立要多加條件:α is rectifiable，無傷大雅)

                    β^-1。α(x)            d
                      = ∫f(β(t))dβ(t) + ∫f(β(t))dβ(t)
                         c              β^-1。α(x)

                         d
                      = ∫f(β(t))dβ(t)
                         c
                     ↑
    (在[x,y]與[y,z]可積imply在[x,y]可積)

嚴謹來說，只需check相加的兩項direction是相同的，同正或同負即可

這樣應該沒問題了 吧!?...
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.19.59), 07/17/2017 16:26:23
→ arthurduh1  : 後面這邊是想跳過 Thm 16.4 證 Thm 6.20 吧?
→ arthurduh1  : 主要想法是在 circle 的定義裡, 沒有所謂的端點
→ arthurduh1  :             *跳過 Thm 6.20 證 Thm 16.4
→ arthurduh1  : 阿, 也沒跳過, 總之是拆成兩段就夠了沒錯.
整理一下&推測一下a大你的意思：


如果在[a,b],[c,d]都one-to-one

則<Thm 6.20> => <Thm 16.4>

但如果只有在[a,b),[c,d) one-to-one

我想要的結果是<Thm 16.4>-New

而仿造同樣邏輯 可以輕易得到 <Thm 6.20>-New => <Thm 16.4>-New

因此問題變成要證<Thm 6.20>-New

(此處的New version是把原本版本的閉區間改成半開閉)


到目前為止 <Thm 6.20>-New 是否成立還是未知

不過現在可以藉由閉區間拆開的方法 藉由<Thm 16.4>去推得<Thm 16.4>-New

而也沒有跳不跳過<Thm 6.20>與否的問題 反正<Thm 16.4>本身就是從<Thm 6.20>來的


至於a大你說的circle分割，用意是不是叫我一開始朝著簡單的jodan curve(即circle)

去思考?? 反正複變最常用的也是積圓

還是你是指其他意思??

謝謝回覆^^~

→ arthurduh1  : 對對~就是這意思
→ arthurduh1  : circle 是指另一個 Jordan curve 的定義, 把
→ arthurduh1  : [a, b] 的 a 和 b 黏在一起變成 S_1
→ arthurduh1  : 在這個定義裡可以看出在 a, b 也不會有特殊的現象
→ arthurduh1  : 呃... 不過我是用這件是直接導 Thm 6.20 New
→ arthurduh1  : 用原本的 Thm 6.20 加上拆兩段, 就能導出 New 版
喔喔!! 我剛剛去WIKI 這兩個定義很明顯等價

而你用circle那個定義把他拆兩段 就是我那個定義拆兩段

所以都是用"拆成兩個compact + <Thm 16.4>" 去推得 "<Thm 16.4>-New"

<Thm 6.20>-New 到底對不對也不重要了XD

→ arthurduh1  : 如果你只關心 Thm 16.4 是這樣, 不過 Thm 6.20
→ arthurduh1  : 也是相同的概念, 甚至我會覺得是比較本質的XD
聽你這麼一說 <Thm 6.20>-New 也一樣拆兩段[a,x],[x,b]

每一段都會有自己的u, say u_1, u_2

先證明會同時遞增or遞減

再用平移之類的(還沒細寫) 把u_1,u_2接起來

好像就出來了@@
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.19.59), 07/17/2017 17:51:07
→ arthurduh1  : 對呀就是這樣, 就是我上面說的 bijective,
→ arthurduh1  : 所以可以接起來不會有疑義
soga 原來你第一次推文那些就是在說<Thm 6.20>-New的idea

這樣我知道了 非常感謝(‧^ω^‧)
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.19.59), 07/17/2017 17:54:03