推 Desperato : 有看沒有懂 先推再說wwwww 08/07 11:11
※ 引述《cuttlefish (無聊ing ><^> .o O)》之銘言：
: 試證明對每一個質數p, 存在質數q, 使得gcd(n^p-p, q)=1 對所有的正整數n.
: 謝謝
20世紀初的代數數論提供一個比較有系統的解法：
原題對q的條件相當於「多項式f(x) = x^p-p在有限體F_q上沒有零點」
由於f在有理數Q上不可約(Eisenstein判別法)，f所定義的Galois擴張K/Q
其Galois群G = Gal(K/Q)作用在所有f在K上的零點構成的集合S上必為transitive
因此，|G| = |S|.|Stab|, 其中Stab為此作用的stabilizer子群。
由此可知，p = |S| 整除 |G|，故存在一個G的元素g，ord g = p。
根據Chebotarev密度定理，存在K上夠好的prime ideal P其Frobenius元素與g共軛。
令q為在P中的唯一有理質數。
那麼P的剩餘體K_P就會是一個F_q之上的p-循環群擴張，也就是說K_P同構於F_{q^p}。
證明此q滿足題目條件：
若f在F_p上有零點，則此零點會被Gal(K_P/F_p)在K_P上的作用固定。
但由於Gal(K_P/F_p)與Z/pZ同構，且f在K_P上恰有p個零點，
此Gal(K_P/F_p)在這p個零點上的作用必為simply transitive，故不可能固定任何零點。
也就是說，f在F_p上沒有零點。證畢。
追伸：
1. 事實上Chebotarev密度定理告訴我們有無限多個滿足條件的質數q
2. f(x)=x^p - p也可以換成其他在Q上不可約的p次多項式，例如x^p - px + p
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