小弟我遇到二個看起來很基本卻無法解答的問題:
1. 給定一個個歐式空間的連續自同構f: R^n -> R^n, 假設f為有限階 f^m = id
f是否必然有不動點 f(x) = x？
2. 給定一個代數封閉體k, 特徵為p>=0。 考慮彷射空間A^n / k。
給定一個A^n的多項式自同構f: A^n -> A^n，
假設f為有限階 f^m = id並且p不整除m，f是否必然有不動點 f(x) = x？
遇到這樣的問題，第一個反應就是用Lefschetz trace formula之類的。
J.-L. Verdier, Caractéristique d'Euler-Poincar, 1973
裡面的定理也許可以套用。
定理（的一個推論）說:
若X為拓樸空間，f: X-> X為有限階自同構，f^m = id。
對於因數d | m, 定義 X_d為X裡面在f作用下order剛好為d的元素構成的子空間。
假設X為locally compact且有限次元, 且所有X_d的cohomology皆有限。
那麼λ(f) = χ(X_1)
其中λ為Lefchetz指標，χ為Euler示性數，而X_d /f為f作用下的quotient space。
(以上所有cohomology都是compactly supported singular cohomology H^*_c(X) )
但問題是:
對於1.，R^n並非compact, 不曉得一般而言連續的f可以多複雜，
也不曉得f^k的不動點的cohomology是否有限。
上面的定理只有在m是質數的時候可以使用
(因為Z/p作用如果沒有不動點，就一定是自由作用)
對於2., 在特徵=0的時候可以套用文章中的定理在singular cohomology上，
由於多項式自同構f^k的不動點也是代數多樣體，所以cohomology必然有限。
但是在特徵p>0的時候，我不確定l-adic étale cohomology上有沒有相同的結果。
可以確定的是, 若p整除位階m的時候會有反例:
f: A^1 -> A^1
x -> x+1
這個自同構f的位階為p, 但是顯然不滿足定理的等式，
因為 A^1 / f = A^1 (Artin-Schreier)，
而 1=χ(A^1) != χ(A^1) * p = p。
當p不整除位階m的時候上述定理等式是否成立？
謝謝
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