[機統] 無限物品中 隨機取物機率之悖論

[JKLee (J.K.Lee)]

會想到這個問題，是從"偶數與整數一樣多"這個不合直覺的結果聯想而來。

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Case A:

０１２３４５６７８９10 ...
●○●○●○●○●○● ...

從零開始，偶數放白球球，奇數放黑球。
隨機從中抽一顆球，抽到白球的機率是1/2。

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Case B:

０１２３４５６７８９10 ...
●○○●○○●○○●○ ...

從零開始，三的倍數放白球，其餘放黑球。
隨機從中抽一顆球，抽到白球的機率是1/3。

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Case C:

令函數 g, f:
g(x) = (x-1)/2.
f(x) = 3*x/2 , if x is even;
f(x) = floor[g(x)/2]*3 + [g(x) mod 2] + 1 , if x is odd.

g可將奇數轉成整數。
f將偶數轉成3的倍數，將奇數轉成非3的倍數。

將 case A 中，上方的數字代入f(x)

x    ０ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10 ...
f(x) ０ １ ３ ２ ６ ４ ９ ５ 12 ７ 15 ...
     ● ○ ● ○ ● ○ ● ○ ● ○ ● ...

此時隨機抽到白球的機率還是1/2。

將更新後的數字f(x)與對應到的球綁在一起，依新數字的大小作排序。

０１２３４５６７８９10 ...
●○○●○○●○○●○ ...

排列方式變得與 case B 相同，抽到白球的機率變成是1/3。

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在 Case C 中，黑球與白球的數量皆無改變過，只有改變球上面的編號而已。
改變後的編號都沒有重複，也包含零與所有的正整數。

為何機率會不同? 我哪裡錯了?


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※ 編輯: JKLee (61.231.154.147), 08/15/2017 01:24:06
推 Vulpix      : 因為你思考了一個不符合直覺機率的情形。在看你的
→ Vulpix      : 問題之前，先想一件事：取到特定一個編號的球的機率
→ Vulpix      : 是多少？是0吧。直覺上，機率應該要可加，所以取出
→ Vulpix      : 任一有編號的球的機率就是0+0+0+0+...=0。荒謬嗎？
→ Vulpix      : 你所思考的情形對於「機率」而言是自然就會發生
→ Vulpix      : 1/2=1/3這種「荒謬」的事情的。
※ 編輯: JKLee (61.231.154.147), 08/15/2017 01:51:45
→ recorriendo : "三個點"不是正式的數學語言 很多數學的魔鬼都藏在
→ recorriendo : "..."裡   要討論無窮的情況 先正式定義好樣本空間
→ recorriendo : 和機率測度
→ recorriendo : 然後你就會發現 根本不可能在N上定義出滿足
→ recorriendo : P({0})=P({1})=P({2})=P({3})=...的機率測度
→ recorriendo : 簡單來說 你這裡說的已經不是機率了
→ wohtp       : 碰到無限大的時候你的直覺都要轉彎。
→ wohtp       : 例如改變編號或者改變順序這些事都不太能做。
→ wohtp       : 有沒有看過 1-1+1-1+1-1+... = 0 = 1 = infty ？
→ yyc2008     : 會=FINITY? 我只看過0 1 1/2
推 APM99       : 要加成多少就能加成多少
→ Vulpix      : 那個級數沒有條件收斂，是一個不管怎麼改變順序都會
→ Vulpix      : 發散的級數。
→ Vulpix      : 1-1+1+1-1+1+1+1-1+...用這個規則可以發散到+∞。
→ JKLee       : 把黑白球換成±1,似乎就可得到V大的結論?
推 APM99       : case A 你得到的結論就是  偶數數是自然數的一半
→ APM99       : 自然無需之後的討論