作者chemmachine (chemmachine)
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標題Re: [微積] 函數遞減的證明 (懸賞批幣或現金)
時間Thu Aug 17 22:36:51 2017
※ 引述《gg (GG)》之銘言：
: ∞
: 令 f(x) = Σ x^k/k^s, x 定義在 [0,1], s>2,
: k≧1
: (f(x) 稱為 polylogarithm function),
: 試證明
: f(1)-f(x)
: g(x)= ---------- 嚴格遞減。
: (1-x)f'(x)
: Σ k^{-s} (1+x+...+x^{k-1})
: 由於 g(x) = ----------------------------
: Σ k^{-(s-1)} x^{k-1}
: 這個命題蠻符合直覺的，也經由數學軟體證實其正確性，
: 然而斷斷續續搞了半個月，還是沒有證明出來。
: 在此懸賞10000/5000批幣或現金1000/500，
: 給前兩個提供證明的人，批幣或現金自選。
: 可以站內信貼 pdf 檔或手寫稿圖片，
: （我假設沒有人想用站內信打數學符號）
: 謝謝。
在下剛好研究過黎曼採他函數(Riemann zeta fumction)及Polylogarithm function。
本題工時一天半。
記a的b次方為a^b，a除以b為a/b，a乘以b為a*b，a的下標b為a_b，a小於等於
b為a<=b
若f(x)=x/1^s+x^2/2^s+x^3/3^s+...
由polylogarithm function的可微性，
f'(x)=1/1^(s-1)+x/2^(s-1)+x^2/3^(s-1)+...
f"(x)=1/2^(s-1)+2x/3^(s-1)+3x^2/4^(s-1)+..
由g(x)之定義
g(x)=[f(1)-f(x)]/[(1-x)*f'(x)]
f(1)-f(x)=(1-x)/1^s+(1-x^2)/2^s+(1-x^3)/3^s+...
[f(1)-f(x)]/(1-x)=1/1^s+(1+x)/2^s+(1+x+x^2)/3^s+..
{[f(1)-f(x)]/(1-x)}/f'(x)=
[1/1^s+(1+x)/2^s+(1+x+x^2)/3^s+...]/[1/1^s+x/2^(s-1)+x^2/3^(s-1+...)]
分母技巧變換=
[1/1^s+(1+x)/2^s+(1+x+x^2)/3^s+...]/[1/1^s+(x+x)/2^(s-1)+
(x^2+x^2+x^2)/3^(s-1+...)]=g(x)
g(x)代值可知g(0)=zeta(s) g(1)=1
可猜想g(x) strictly decreasing
現在考慮0<=y<x<=1
比較g(x)和g(1)
g(x)=[1/1^s+(1+x)/2^s+(1+x+x^2)/3^s+...]/[1/1^s+(x+x)/2^(s-1)+
(x^2+x^2+x^2)/3^(s-1+...)]
g(1)=[1/1^s+(1+1)/2^s+(1+1+1)/3^s+...]/[1/1^s+(1+1)/2^(s-1)+
(1^2+1^2+1^2)/3^(s-1+...)]
考慮g(x)的分子和分母特殊對應
1/1^s <-> 1/1^s
(1+x)/2^s <-> (x+x )/2^s
(1+x+x^2)/3^s <-> (x^2+x^2+x^2) 可知分母是次數較高的多項式，且分子分母
係數相同且同不為負數
比較g(1)和g(x)的分子和分母
分母(1+1)/2^s變為(x+x)/2^s縮小，(1+1+1)/3^s變為(x^2+x^2+x^2)/3^s縮小
分子(1+1)/2^s變為(1+x)/2^s縮小，(1+1+1)/3^s變為(1+x+x^2)/3^s縮小
且分母縮小幅度較大，因分母的階較高，g(1)的分子分母值相同
經過分子和分母同時變小，且分母變小幅度較大，
故g(x)>g(1) for x<1
同理可證，比較g(y)和g(x) y<x
g(y)=[1/1^s+(1+y)/2^s+(1+y+y^2)/3^s+...]/[1/1^s+(y+y)/2^(s-1)+
(y^2+y^2+y^2)/3^(s-1+...)]
g(x)=[1/1^s+(1+x)/2^s+(1+x+x^2)/3^s+...]/[1/1^s+(x+x)/2^(s-1)+
(x^2+x^2+x^2)/3^(s-1+...)]
g(x)變為g(y)時，分子分母同時變小，但分母因多項式次數較高，故縮小幅度
較大；由上可知g(x)>1
一個大於1的分數a/b>1，當a，b同時變小，且b變小幅度較大則a/b數值增加。
故g(y)>g(x)，由上g(x)>1
故g(y)>g(x)>g(1) for 0<=y<x<=1
故得證g(x) strictly decreasing
註記：在嘗試證明過程中，證明一些沒有用到的lemma如下
Remark1 (a+c)/(b+d) between a/b and c/d
pf.設a/b=k，c/d=r, a=bk，c=dr
(a+c)/(b+d)=(bk+dr)/(b+d)=[b/(b+d)]k+[d/(b+d)]r
故(a+c)/(b+d)為k和r的向量組合
Remark2 考慮g'(x)
g(x)=[f(1)-f(x)]/[(1-x)*f'(x)]
則g'(x)=[1/[(1-x)^2*(f'(x))^2][-f'(x)(1-x)f'(x)-
(f(1)-f(x))(-f'(x)+(1-x)f"(x))]
若g'(x)<0，
(x-1)(f'(x))^2+(f(1)-f(x))f'(x)+(x-1)(f(1)-f(x))f"(x)<0
有兩種結合方式
(f'(x))((x-1)f'(x)+f(1)-f(x))+(x-1)(f(1)-f(x))f"(x)<0
和(x-1)(f'(x))^2+(f(1)-f(x))(f'(x)+(x-1)f"(x))<0
因f'(x)>0 for x屬於[0，1]
f(1)-f(x)>0 ，x-1<0
欲證(x-1)f'(x)+f(1)-f(x)<0
=>f'(x)>[f(x)-f(1)]/(x-1)
=>1/1^(s-1)+x/2^(s-1)+x^2/3^(s-1)+...>1/1^s+(x+1)/2^s+(x^2+x+1)/3^s+...
當x=0，右式為zeta(s)明顯不對，無法證明本命題。
同理，因(x-1)(f'(x))^2<0，f(1)-f(x)>0
欲證f'(x)+(x-1)f"(x)<0
(1/1^(s-1)+x/2^(s-1)+x^2/3^(s-1)+...)+(x/2^(s-1)+2x^2/3^(s-1)+3x^3/4^(s-1)+..)
+(-1/2^(s-1)-2x/3^(s-1)-3x^2/4^(s-1)+..)
整理係數可得f'(x)+(x-1)f"(x)>0
，無法證明本命題。
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推 DLHZ : 強者推 08/17 22:50
→ chemmachine : 照片順序有點亂，是本文的圖片檔。 08/17 23:01
→ chemmachine : 證明精神是把g(x)分子分母化為特殊形式 08/17 23:04
→ chemmachine : 之後用小學數學中比較分數大小的方法比較大小，整體 08/17 23:05
→ chemmachine : 用的是分析學鉅細靡遺的技巧，中間對應採取伽羅瓦 08/17 23:06
→ chemmachine : 對應的精神。 08/17 23:06
推 alan23273850: 好猛 羨慕這種能著述長篇證明的能力 建議酬勞往上加 08/18 03:03
推 Desperato : 推推 08/18 08:06
→ willydp : 奇怪，只有我一個人看不懂嗎？ 08/18 08:30
→ willydp : (x^n)' = nx^{n-1}, 當x很小的時候, 08/18 08:32
→ willydp : 次數低的單項式不是變動比較快? 08/18 08:33
→ gg : 你注意我的原文，已經寫到你提到的形式(事實上這是 08/18 09:50
→ gg : 我最原本的形式)，但是我以為只比較分母分子對應項 08/18 09:50
→ gg : 縮小速率是不充分的。雖然我認為這符合直覺，但是 08/18 09:50
→ gg : 事實上，你用微分來看，不能只看對應項的比例，還 08/18 09:50
→ gg : 必須看跨項的比例。假如你真的可以用對應項比例縮 08/18 09:50
→ gg : 小證出，應該會有一個簡單的lemma支持這個論點。 08/18 09:50
推 gg : 很開心有遇到專做這個的人。其實若這是知名定理， 08/18 10:39
→ gg : 告訴我哪本書或哪篇文章有這個命題，我也會支付酬勞 08/18 10:40
→ yyc2008 : 所以看來目前還沒有證出來?? 08/18 13:48
→ gg : 竊以為這個版本還沒有。 08/18 17:59