Re: 有關 homotopic

[Desperato (Farewell)]

※ 引述《hau(小豪)》之銘言：
: 令
: B_{n-1}
: = {(x_1,x_2, ... , x_{n-1})∈R^{n-1}| x_1^2 + x_2^2 + ... + x_{n-1}^2 ≦ 1 }
: B
: = {(x_1,x_2, ... , x_n)∈R^n |
:     x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2 = 1, x_i ≧ 0 , ∀ i ∈ {1,2, ... ,n} }
: 如何證明 B homotopic to B_{n-1}.
: 這直覺上是對的


不直接硬幹嗎ow o

設 B' = {R^n | sum x_i^2 = 1, x_n >= 0} 是個半球


存在連續 f: B_{n-1} -> B' 和 g: B' -> B_{n-1} 使得

g。f ~ id 和 f。g ~ id



方便起見令 d^2 = x_1^2 + x_2^2 + ... + x_{n-1}^2, d >= 0

設 f = (x_1, x_2, ..., x_{n-1}, sqrt(1-d^2))

   g = (x_1, x_2, x_3, ... x_{n-1})

則 g。f = id

   f。g = id

結果根本都是等於 所以就做完了ow o



現在再把 B' 變成 B 就好

方法是一維一維變過去 {-1 <= x_k <= 1}  <---> {0 <= x_k' <= 1}

把 x_k 寫成球坐標 r cos(t)

by f (-->): r cos(t/2)
   g (-->): r cos(2t')

可以想像三維中的 半球殼 <---> 1/4球殼 像圓頂垃圾桶蓋子一樣滑過去





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嗯嗯ow o

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.112.25.105
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1503044851.A.71D.html
推 willydp     : 證明homotopic, 只要說它們二個都contractible就好
→ willydp     : 可以用homothetic homotopy把二者都縮到0
→ Desperato   : 噢噢原來 因為這部分我沒學好 只會定義qw q
推 hau         : 我之前弄錯@，其實我要的是homemorphism
→ hau         : Desperatio的方法ok，謝謝！