Re: [微積] 函數遞減的證明 (懸賞批幣或現金)

[willydp (willeliu)]

※ 引述《chemmachine (chemmachine)》之銘言：
: → gg          : 你注意我的原文，已經寫到你提到的形式(事實上這是   08/18 09:50
: → gg          : 我最原本的形式)，但是我以為只比較分母分子對應項   08/18 09:50
: → gg          : 縮小速率是不充分的。雖然我認為這符合直覺，但是    08/18 09:50
: → gg          : 事實上，你用微分來看，不能只看對應項的比例，還    08/18 09:50
: → gg          : 必須看跨項的比例。假如你真的可以用對應項比例縮    08/18 09:50
: → gg          : 小證出，應該會有一個簡單的lemma支持這個論點。     08/18 09:50


被chemmachine的方法啟發，可以證明s≧3時g(x)嚴格遞減:


由於g(x)的分子在範圍內絕對收斂，二個和可以交換

g(x)=

 Σ  x^{k-1}  Σ  j^{-s}
k≧1         j≧k
-----------------------
 Σ  x^{k-1}    k^{-s+1}
k≧1


LEMMA.
當(k-1)(s-2)≧1時，總有
 Σ  j^{-s} < k^{-s+1}
j≧k

PROOF.
換句話說, 要證明
 Σ  (j/k)^{-s} < k
j≧k
由於函數(x/k)^{-s}遞減，可以用積分估計上界:
                               ∞                      x^{1-s}   | ∞
 Σ (j/k)^{-s} < (k/k)^{-s} + ∫(x/k)^{-s} dx = 1 + ------------ |
j≧k                           k                     (1-s)k^{-s} |x=k

                                              = 1 + k/(s-1)
由(k-1)(s-2) ≧ 的條件, 推得 1+k/(s-1)≦k。
PROOF ENDED.


所以有不等式(當(k-1)(s-2)≧1)
 Σ  j^{-s} < k^{-s+1}
j≧k

特別地，當s≧3, k≧2時，該不等式總是成立。

現在假設有二數0≦x < y ≦1，
將上不等式二側同乘以y^{k-1}-x^{k-1}>0，並對k≧2取和, 得(對所有s≧3)

 Σ   Σ  j^{-s}(y^{k-1}-x^{k-1}) <  Σ k^{-s+1}(y^{k-1}-x^{k-1})
k≧1 j≧k                           k≧1

(注意k=1時，y^{k-1}-x^{k-1}=0，所以該項不影響不等式成立)

左式記為a, 右式記為b，我們有a, b>0且a/b < 1。
我們令

 Σ   Σ  j^{-s}x^{k-1} = c
k≧1 j≧k

 Σ k^{-s+1}x^{k-1} = d
k≧1

則c, d>0且g(x)=c/d > 1，而g(y)=(c+a)/(d+b)。現在，
                               ad-cb
g(y)-g(x)=(c+a)/(d+b) - c/d = --------
                               d(d+b)

由於a/b < 1 < c/d, 所以ad-cb < 0, 因此g(y)<g(x)。得g在[0,1]內嚴格遞減。

s介於2和3的時候，應該也能修改一下證明。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 194.199.165.11
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1503056051.A.8ED.html
※ 編輯: willydp (194.199.165.11), 08/18/2017 19:37:23
推 gg          : 喔喔，對s不小於3是很漂亮的證明，我至少會支付一
→ gg          : 半酬勞：)
※ 編輯: willydp (194.199.165.11), 08/18/2017 23:02:24
推 gg          : 我證明過，g對s是嚴格遞減的，這不知道可不可以用上
※ 編輯: willydp (194.199.165.11), 08/18/2017 23:51:37
推 walkwall    : XD  這酬勞真不好賺
→ willydp     : 問題已在與原原PO通信過程中解決，待其確認後公佈。