推 Desperato : 推推 08/21 21:02
→ yyc2008 : 推一個 好複雜 不知道有沒有更簡易的證明 08/21 21:56
推 gg : 推一個，問題完美解決，解決者也是一個好人。其實 08/21 22:17
→ gg : 我覺得這個方法非常漂亮了:) 08/21 22:17
推 linkismet : 好!希望數學物理板都多一些這類文章 08/22 02:39
問題已經完全解決，證明如下(部份重複前一篇發文，部份計算來自原原PO):
由於g(x)的分子在範圍內絕對收斂，二個和可以交換
g(x)=
Σ x^{k-1} Σ j^{-s}
k≧1 j≧k
-----------------------
Σ x^{k-1} k^{-s+1}
k≧1
定義分子為c(x), 分母為d(x)。
由於g'(x) = (c'(x)d(x)-d'(x)c(x))/(d(x))^2，只須證明c'd-d'c > 0即可。
為了方便，我們乘上x。現在,
x(c'd - d'c) = ( Σ (k-1)x^{k-1} Σ j^{-s})( Σ x^{m-1} k^{-s+1})
k≧1 j≧k m≧1
- ( Σ (k-1)x^{k-1} k^{-s+1})( Σ x^{k-1} Σ j^{-s})
k≧1 m≧1 j≧m
= Σ (k-1)x^{k+m-2}(k^{-s+1} Σ j^{-s} - m^{-s+1} Σ j^{-s})
k,m≧1 j≧m j≧k
現在, 將k, m的和拆成三部份: k<m, k=m 以及 k>m。k=m的部份顯然和=0，
我們將k < m的部份重新命名變數k <- m, m <- k。新的變數於是有k > m：
x(c'd - d'c) = Σ (k-1)x^{k+m-2}(k^{-s+1} Σ j^{-s} - m^{-s+1} Σ j^{-s})
k>m≧1 j≧m j≧k
+ Σ (m-1)x^{k+m-2}(m^{-s+1} Σ j^{-s} - k^{-s+1} Σ j^{-s})
k>m≧1 j≧k j≧m
= Σ (k-m)x^{k+m-2}(k^{-s+1} Σ j^{-s} - m^{-s+1} Σ j^{-s})
k>m≧1 j≧m j≧k
最後，只需要該和的每一項係數都 > 0即可。問題只剩下證明以下引理:
LEMMA.
對正整數k, 定義a_k(s) = Σ j^{-s}
j≧k
那麼，對於s>2, 以及二個正整數k > m, 總是有 a_k(s)/a_m(s) < (k/m)^{-s+1}
---
這個Lemma的證明用到Mellin transform, 這是一個數論中常用的技巧。
為此，我們先回顧一下Mellin transform:
對一個定義在 ]0,∞[ 的實函數或複函數f(t) (假設這個函數趨近0與∞的表現很好)
定義Mellin transform:
∞ dt
M(f)(s) = ∫ f(t) t^s --
0 t
舉例而言, 當f(t) = exp(-t)時, M(f)(s) = Γ(s)會是Gamma函數(根據定義)
當f(t) = exp(-nt)其中n是正整數時，
∞ dt ∞ dt
M(f)(s) = ∫ exp(-nt) t^s -- = ∫ exp(-t) (t/n)^s -- = Γ(s) n^{-s}
0 t 0 t
因此，假如我們有一個冪級數 f(t) = Σ c_j exp(-jt)
j≧1
則（假設這個冪級數收斂很快）會有 M(f)(s) = Γ(s) Σ c_j j^{-s}
j≧1
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現在我們可以證明Lemma :
PROOF OF LEMMA.
定義
m exp(-mkt)
P(t) = Σ m exp(-mjt) = -------------
j≧k 1 - exp(-mt)
k exp(-mkt)
Q(t) = Σ k exp(-kjt) = -------------
j≧m 1 - exp(-kt)
那麼我們有 M(P)(s) = Γ(s)a_k(s)m^{-s+1}, M(Q)(s) = Γ(s)a_m(s)k^{-s+1}
現在，因為對任何s > 0, 總是有 Γ(s) > 0，最後只要證明 M(P-Q) > 0即可。
然而，
M(P-Q)(s) =
∞ m k dt
∫ (------------ - ------------)exp(-mkt) t^s --
0 1 - exp(-mt) 1 - exp(-kt) t
x
由於對任何t>0, 函數------------總是遞增(微分後可輕易看出)，
1 - exp(-xt)
所以積分內的函數<0，得M(P-Q)(s) < 0, 對所有s > 0，證畢。
追伸: 雖然g(x)在s<2時分子的級數不收斂，我們仍可以考慮其解析延拓。
polylogarithm本身(當|x|<1時)的定義對s可以定義在整個C上面，
以上的證明告訴我們m^{-s+1}a_k - k^{-s+1}a_m 這個差作為s的函數，
可以解析延拓到Re(s)>0的半平面上，
而且當s為實數>0時，該數在0 < x < 1的範圍內恆<0。
利用這個解析延拓，可以說明當s > 0為實數時，g'(x) < 0。
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