Re: [幾何] 一題幾何證明

[JKLee (J.K.Lee)]

※ 引述 《JKLee (J.K.Lee)》 之銘言：
: 　
: ※ 引述 《tzhau (生命中無法承受之輕)》 之銘言：
: : 凸四邊形ABCD,AD不平行BC,AB不平行CD,AB=CD,
: : 對角線BD與AC之中點分別為E與F,
: : 直線EF分別交AB與CD於M、N,
: : 證明角BME=角CNF
: 　
: E與F兩點之座標為:
: F=(A+C)/2
: E=(B+D)/2
: 　
: 向量 [FE﹥= E-F
: = 1/2*[(B-A)+(D-C)] = 1/2*{ [AB﹥+[CD﹥}
: 　
: 平移向量 [AB﹥與 [CD﹥，使B點與C點重疊，形成三角形A'B'D'。
: 　
: 因 [AB﹥+ [CD﹥= 2[FE﹥，[FE﹥平行 [AB﹥+ [CD﹥= [A'D'﹥。
: 　
: 又因向量[AB﹥與 [CD﹥的長度等於A'B'與B'D'的長度，
: A'B'D'為一等腰三角形。
: 　
: 所以 [FE﹥與 [AB﹥的夾角 等於 [FE﹥與 [CD﹥的夾角。
: 　
: 後略
: 　

另一種證法。

AD取中點G，GE與GF連線。

因 三角形DAC與三角形GAF SAS相似，
故 GF平行DC 且 2*GF=DC。

因 三角形ADB與三角形GDE SAS相似，
故 GE平行AB 且 2*GE=AB。

因 GF=1/2*DC=1/2*AB=GE，
故 三角形GEF為等腰三角形，
且 角GEF=角GFE。

因 GF平行DC，故角DNF=角GFE；
同理，角AME=角GEF。
所以，角DNF=角GFE=角GEF=角AME。

所以，角CNF=180-角DNF=180-角AME=角BME。

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※ 編輯: JKLee (111.248.71.169), 08/24/2017 21:05:50
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