[分析] Fourier Transform 是否是 bijective ?

[annboy (BlueGun)]

各位版大好

第一次在這個版發文，如有違反板規或標題不當，還請告知

為了避免翻譯造成誤會，關鍵名詞我會用英文



本人是電機系的學生

有些問題從大二開始就一直放在心裡

直到最近退伍開始準備研究所考試，才又讓我回想起這些問題

查了一些相關資料，發現以自己的數學能力似乎無法解決



詳細的問題如下:

(1)

Fourier Transform (以下縮寫成FT) 是個 Linear map ，那這個轉換是

bijective 嗎?

(2)

承(1)如果並不永遠是bijective，那其domain、image的關係為何者的時候，

FT是bijective ? 那甚麼狀況下不是 ?





會開始思考這個問題先前是來自於對Fourier Transform Table的懷疑，

為何週期性函數 exp(jat) 的FT是 2πδ(ω-a)， ?

(其中 δ(ω)是Dirac delta function，a是一個實數常數)

大部分的工程數學類課本都是用FT的反轉換(Fourier inversion theorem)

來證明這件事情。

我能接受 2πδ(ω-a) 的反轉換是 exp(jat) ，但反過來不代表就是對的。

雖然說可將exp(jat)將代入FT的定義，但總是無法避免一個周期性函數積分到無限大

的問題。

大學時期的我沒能解決這個問題，反正就是記下轉換的結果，一個Fourier series

representation 的轉換就是一串 impulse train ，就像所有訊號與系統書上寫

的那樣，這個結果在通信領域相當有用。



最近我開始重新思考這個問題，去查了一些相關資料，一查之後發現自身數學能力之

嚴重不足，比如說Dirac delta function並不是一個古典函數，

而要看成一個distribution。

一般書上都會說FT會收斂的條件是絕對可積，一查之後才發現這個可積是

Lebesgue integrable ， 又去看了一些 Lp space相關的資料，發現

討論這個問題上，常使用 f ∈ L1、f ∈ L2 的寫法。

扯到 Lebesgue integration 又發現我得具有Mathematical analysis的基礎。

對一個基礎只有線性代數和微積分的電機系學生來說，這個問題真的極度頭大。





最後想請問是否有版大能給出這個問題的結論(我知道即使有證明，

我現在能力可能也沒法看懂)，或者能推薦我解決此問題應考慮閱讀哪些相關的原文書?



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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1503654393.A.76F.html
→ LiamIssac   : functional analysis
要看泛函分析的話，是否須要先具備數學系的數學分析基礎?
只有線性代數和初微的基礎不曉得足不足夠。
→ willydp     : (1). 要看所討論的函數空間為何，
→ willydp     : 並非所有函數都能轉換。FT在「平方可積函數」上幾乎
→ willydp     : 是bijective。
→ willydp     : (2). delta function的問題更麻煩
→ willydp     : 標準程序是: 先限縮test function的範圍
→ willydp     : 因為並不是所有test function經過FT之後仍然是
→ willydp     : 不是限縮，是增加test function...
→ willydp     : 為此，我們需要定義Schwartz functions
→ willydp     : 這個函數空間包含了所有compactly supported C^∞
→ willydp     : 以及它們的Fourier transform
→ willydp     : 而FT會把Schwartz function轉換成Schwartz function
→ willydp     : 我們把delta function視為Schwartz function空間上
→ willydp     : 的一個線性函數。 如此可以形式化地定義它的FT
→ willydp     : 標準參考書之一Stein &Shakarchi, Fourier Analysis
→ willydp     : 小建議: 要完全理解這些問題, 需要從頭學analysis
我對於distripution的認識主要來自維基百科、Wolfram Mathword，以及一些從關鍵字
能搜尋到某些章節的pdf，我的認識大約是知道一個distribution需要一個test funcion
來定來微分、FT等等的，這麼淺而已。想請教w大如果要學習關於theory of
distribution的知識，建議去修哪門課呢?我翻了幾門數學系課程的教材，並沒有特別提
到distribution這個關鍵字。也感謝w大推薦給我這本書。
→ willydp     : 我覺得要看distribution，也許PDE或微分幾何的書有
了解，我去找找看。
→ willydp     : 這裡有份講義https://goo.gl/vSyvNW，或許能參考
非常感謝，我用關鍵字去找通常只能找到一個章節的。
推 LiamIssac   : 如果只是要應付考試 那就找幾本當下需要的書 先把
→ LiamIssac   : 重要的拿起來 以後有要深究 再花時間好好把書啃完
感謝L大的建議，其實這個問題只是我個人對課本的質疑，如果只是要應付考試，只要記
憶Table上的結論和應用就足夠了。我是想把這個問題當作我應考的動機之一，理性上評估
，確實在應考的時期去念和考試內容比較不相關的數學書籍確實不是很適當的作法。
→ Pieteacher  : 調和分析 harmonic analysis
→ b02209012   : H顤mander, analysis of linear partial differenti
感謝P大和b大的建議。



2017/8/28更新

這幾天我依照willy大的建議重點式的閱讀了

Thierry Ramond,Distributions and Partial Differential Equations

和

Elias M. Stein&Rami Shakarchi,Fourier Analysis,An Introduction

這兩本書再加上再加上

維基百科的distribution(mathematics),Fourier transform,Dirac delta function

這三個頁面為主的資料，得出了幾個我自己可以接受的結論，分享給可能有同樣問題的

版大們。



1.

當限定函數空間為Schawartz space，FT的domain和range皆為Schwartz空間的函數時，

FT是bijective。

2.

當限定函數空間為the space of tempered distributions (以dual space of Schwartz

space定義)，此外，以distribution的型式另定義FT，可以得到FT的domain,range皆為

上述空間時，FT是bijective。

3.

關於exp(jat)的FT證明，其實只要證明常數1的FT證明即可，再配合shift in frequency

domain這個證明很嚴謹的性質，就能得出。

我在英文網站MATHEMATICS找到一個應該算是嚴謹的證明(個人觀感):



https://math.stackexchange.com/questions/559194/how-to-prove-that-inverse-fourier-transform-of-1-is-delta-funstion

此外在上述Thierry Ramond的書中，也有相關的範例:example5.4.2(ii)和5.4.4。




最後再次感謝各位版大的回覆與建議，版大們推薦的書籍我會利用研究所考試後慢慢閱讀

，逐一將相關能力補齊的。
→ abc2090614  : 第一個推的講錯了吧  要看harmonic analysis
根據Elias M. Stein&Rami Shakarchi,Fourier Analysis,An Introduction

書中 Chapter5. The Fourier Transform on R 的相關內容:

Theorem 1.3 敘述 If f ∈ S(R), then ˆf ∈ S(R).

Theorem 1.9 敘述 If f ∈ S(R), f作FT再作inverse FT依然是自身。

從這兩個定理應該可推出

Corollary 1.10 The Fourier transform is a bijective mapping on the Schwartz

space.

我認為我的敘述應該和 Corollary 1.10 是等價的。





不知道是否我的敘述和 Corollary 1.10 有出入，或者以其他觀點來看並不是如此?

推 Vulpix      : Thm1.3+1.9應該不夠做出Cor1.10,剛好沒提到surject.
→ Vulpix      : 就是：每一個Schwartz function都是某一個Schwartz
→ Vulpix      : function的Fourier transform。不過這也很簡單啦，
→ Vulpix      : 補一句話而已。
V大說的是，我回去翻Corollary 1.10發現上面還有一段敘述，大致上是推論出
F(f)(y) = F*(f)(-y) => F(F*)=(F*)F=I (F表FT,F*表IFT)
的結論。雖然沒有寫成proof的型式，我想這樣應該就足夠了。
※ 編輯: annboy (117.19.191.52), 08/29/2017 01:20:08