[機統&線代] 隨機矩陣的null space

[vacuityhu (真空管)]

版上各位神人大家好

小弟在看paper的時候被一句簡單的敘述給電爆了...

還請各位大大幫忙解釋一下QQ

The standard normal distribution on R^(MxN) is invariant under rotation,
so the null space L=null(A) is almost surely a uniformly random (N-M)
dimensional subspace of R^N.

背景是這樣的:

A屬於R^(MxN)是一個矩陣,其中每個entry都follow N(0,1)

而當M<N的時候這個A會有null space L

paper上寫說這個L會是一個uniformly random的subspace

首先...subspace是random這是甚麼意思??

然後,作者又是怎麼能確認L會follow uniformly random呢??

請大家幫忙開示一下~QQ

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→ willydp     : Gr(N, N-M)=O(N)/O(M)xO(N-M)是個homogeneous space
→ willydp     : O(N)上面有個Haar measure, 誘導出Gr(N, N-M)上的
→ willydp     : 一個O(N)-invariant probability measure
→ willydp     : 這個null space L所對應的測度 = 這個不變測度
→ willydp     : 理由是: R^{MxN}中rank=M的矩陣構成的開子集合
→ willydp     : 有一個O(N)共變的連續映射到Gr(N,N-M)
→ willydp     : R^{MxN}上的那個measure還是O(N)-不變
→ willydp     : 把這個measure推到Gr(N,N-M)上之後就是L的測度
→ willydp     : 所以L的測度也會O(N)-不變，也就是說它是uniform
→ willydp     : 因為homogeneous space上的不變機率測度只有一個
→ willydp     : 這個Gr上的O(N)-不變測度就必須是從O(N)推下的那個
→ vacuityhu   : 哇…大大你講的很順很自然可是我完全跟不上…QQ
→ vacuityhu   : 能否請大大推薦一個基本讀物讓小弟先補一下backgrou
→ vacuityhu   : nd呢？