[機統] 類似排容原理的東西

[JKLee (J.K.Lee)]

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如何證明:

$q_k = \sum_{i=k}^n (-1)^{i+k} C(i,k) s_i$

是否有相關的關鍵字可供搜尋證明?

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$q_k$ := 恰好k個事件發生的機率


$C(m,n)$ := m相異物取n個的所有可能的方法數


$s_k := \sum_{J \in \wp ([n]), |J|=k} P(\cap_{i \in J} E_i)$


$[n]$ := {1,2,...,n}.

$\wp ([n])$ := the power set of [n].

$\in$: 集合元素屬於符號。

$E_i$ := 第i個事件，$i \in [n]$。

$P(E_i)$ := 事件i發生的機率。

$\cap$: 集合交集符號。


例:

$s_1 = \sum_i P(E_i) = P(E_1) + P(E_2) + … + P(E_n)$


$s_2 = \sum_{i<j} P(E_i \cap E_j)$
$= P(E_1 \cap E_2) + P(E_1 \cap E_3) + … + P(E_1 \cap E_n)$
$+ P(E_2 \cap E_3) + ... + P(E_2 \cap E_n) + … + P(E_{n-1} \cap E_n)$

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推 alan23273850: 記得排容原理是用數學歸納法證的 這個應該也可以？
※ 編輯: JKLee (118.161.200.52), 10/17/2017 23:16:47