→ LimSinE : 機率也可仿此方法 08/28 23:49
推 JKLee : 好證法！ 08/29 21:39
這是以前寫的東西。
考慮 n個Omega 的子集 A_i, 定 Q_k = { x | x 恰出現在k個A_i }
設 S_k = Sigma(n取k種可能) |{k個A_i的交集}|
今欲以 S_k 表示 |Q_k|
定 I_i = A_i 的 characteristic function.
s_k = I_i 為第k個基本對稱多項式
考慮多項式
F(X) = (1 - X I_1) (1 - X I_2) ... (1 - X I_n) = 1 - X s_1 + X^2 s_2 - ...
代入X=1時左邊恰為Q_0的characteristic function,
兩邊取個數，即得普通的排容原理公式
|Q_0| = |Omega|-|S_1|+|S_2|-...
那對於k>0怎麼辦呢？
考慮F'(X)！
代入X=1時，左邊恰為負的 Q_1的characteristic function,
兩邊取個數，得|Q_1| = |S_1| - 2|S_2| + ...
以此類推
F"(1) = 2! Q_2 的 characteristic function
F"'(1) = -3! Q_3 的 characteristic function ...
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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。
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