Re: [中學] 長度換算成品半徑相關問題

[LPH66 (かつて交わした約束)]

※ 引述《ThunderLord (皮皮喵(・ω・）)》之銘言：
: 各位大師晚上好
: 小的有一題想請教各位先進
: Q：將一張紙100米，厚度1mm，捲在一支棍棒直徑10公分上，求成品半徑多少?
: 最基本的算法是我算出紙張的側面積，
: 紙張側面積+棍棒所佔的圓面積=成品半徑^2π
: 但小弟想請問能否這樣算?
: 我把紙張想成一捲一捲的方式堆疊起來，捲一圈的時候繞過的周長為2π*5cm(棍棒的半徑)
: 每多捲一圈，厚度增加0.1cm*2
: 算式為
: 2π*5+2π*(5+0.2*1)+2π*(5+0.2*2)+...+2π*(5+0.2*x)=10000cm
: 接著解出x，x為捲曲的總圈數，再推算回成品半徑
: 因為脫離中學很多年了，腦袋轉不過來
: 不清楚是哪個環節出錯，因為兩個算法的結果有落差
: 還請賜教，謝謝
重新敘述一次我推文講的東西

以下就稱前者為圓法, 後者為長方法

這麼叫的原因還是我推文的前兩行:

推 LPH66       : 每一圈的側面積, 前者以 π(r+d)^2-πr^2 計算
→ LPH66       : 後者以 2πrd 計算 (r 是當下半徑, d 是厚度)
圓法是用圓面積去算這一圈所用掉的側面積

而長方法則是用長方形面積去算

因此這兩者之間的差別就會逐圈累積起來

差在哪裡? 長方法可以看成是這圈紙側面這個長方形繞上圓時內圈貼齊所繞的圓

但是這樣一來外圈就會比原來長方形的長多一點點

因此同樣的半徑, 圓法的面積就會多一點點

以第一圈來說, 長方法是計算用掉 2π*5 cm 的紙時的面積

但繞完一圈之後外圈其實是有 2π*5.1 cm 的長度的

====

因此我後來的推文那幾行其實是要反過來

用圓法的結果會比用長方法的結果來得短 (也就是 d'<d 才對)

這把上面的結果給反過來看就會明白

====

不過, 長方法並不是沒有辦法修改成跟圓法一樣

注意到剛才的描述, 長方形在內圈貼齊時外圈就會拉長

如果反過來放鬆一點讓外圈長度貼齊內圈就會擠在一起

(延續剛才的例子就是用 2π*5.1cm 長的紙來繞第一圈

 這樣這些紙在內圈要擠進 2π*5cm)

那如果取兩者的中間值, 讓這繞一圈時貼齊的長度是在紙厚度的正中間

(同樣剛才的例子的話就是用 2π*5.05cm 長的紙來繞第一圈)

這樣求出來的長度就會跟圓法的結果一樣了

原因則還是回到推文提的面積計算 π(r+d)^2-πr^2 = 2π(r+d/2)*d

取用中間值做長方法每圈的半徑時的結果跟圓法是一樣的

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※ 編輯: LPH66 (180.177.29.238), 08/29/2017 02:40:46
推 ThunderLord : 謝謝L大用心的解釋，小弟了解了，感恩
→ wohtp       : 其實因為真正的紙會有形變，長方法可能還比較貼近實
→ wohtp       : 際值？