Re: [機統] 類似排容原理的東西

[JKLee (J.K.Lee)]

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另一種證法

: 如何證明:
: $q_k = \sum_{i=k}^n (-1)^{i+k} C(i,k) s_i$
: 是否有相關的關鍵字可供搜尋證明?
: ========================
: $q_k$    := 恰好k個事件發生的機率
: $C(m,n)$ := m相異物取n個的所有可能的方法數
: $s_k$    := $\sum_{I \in \wp ([n]), |I|=k} P(\cap_{i \in I} E_i)$
: $[n]$       := {1,2,...,n}.
: $\wp ([n])$ := the power set of [n].
: $\in$       :  集合元素屬於符號。

$\subseteq$   :  集合包含於符號
$Ω$     := 所有事件集合。
$E_i$    := 第i個事件集合，$i \in [n]$，$E_i \subseteq Ω$。
$E_i^c$  := $Ω - E_i$，即$E_i$的補集。

: $\cap$: 集合交集符號。
: 例:
: $s_1 = \sum_i P(E_i) = P(E_1) + P(E_2) + … + P(E_n)$
: $s_2 = \sum_{i<j} P(E_i \cap E_j)$
: $= P(E_1 \cap E_2) + P(E_1 \cap E_3) + … + P(E_1 \cap E_n) $
: $+ P(E_2 \cap E_3) + ... + P(E_2 \cap E_n) + … + P(E_{n-1} \cap E_n)$

$s_k = \sum_{I \in \wp ([n]), |I|=k} P(\cap_{i \in I} E_i)$

$ = \sum_{I \in \wp ([n]), |I|=k} \sum_{J \in \wp ([n]-I)}$
$   P(\cap_{i \in I} E_i \cap_{j \in J} E_j \cap_{k \in [n]-I-J} E_k^c)$

$ = \sum_{m=k}^n C(m,k) \sum_{I \in \wp ([n]), |I|=m}$
$   P(\cap_{i \in I} E_i \cap_{j \in [n]-I} E_j^c)$

$ = \sum_{m=k}^n C(m,k) q_m$


解聯立方程式，化作矩陣形式。發現帕斯卡上三角矩陣。求出反矩陣後，得解。

即 $q_k = \sum_{i=k}^n (-1)^{i+k} C(i,k) s_i$

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→ musicbox810 : 建議要打就用PTT可以看得出來的符號 否則看得很花很
→ musicbox810 : 不舒服
感謝你耐心解讀這篇文章。我認為單純用ansi打出這題用到的特殊符號與上下標有些繁雜。
如樓下建議，利用online latex editor 或是 mathjax 吧。生命有限。
→ musicbox810 : PTT應該還沒有辦法把將Latex符號顯示出來
→ as7218      : 可以貼到Online LaTeX Equation Editor看
※ 編輯: JKLee (118.161.200.52), 10/17/2017 23:17:23