Re: [中學] 中學問題

[Eliphalet (高等遊民)]

※ 引述《dagood (魯叔->廢伯)》之銘言：
:         a,b,c皆大於0
:         且a+b+c=1
:         若 y=(1-2a^2)^(1/2) + (1-2b^2)^(1/2)+ (1-2c^2)^(1/2)
:         求y的最大值和最小值

  "a,b,c皆大於0，且a+b+c=1" 這樣可能會造成範圍裡內 1-2a^2, 1-2b^2, 1-2c^2

   這三者裡有負的，所以我把 y 改成

   y = (1-a^2)^(1/2) + (1-b^2)^(1/2) + (1-c^2)^(1/2)

   這樣保證在你給的範圍裡，y都有定義...

   再來，你的題目要求極值，因此我把邊界也納進來

   所以，我下面寫的是

   a,b,c皆大於等於0，且a+b+c=1，

   若 y=(1-a^2)^(1/2) + (1-b^2)^(1/2)+ (1-c^2)^(1/2)

   求 y 的最大值和最小值

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  1. 最大值

   用柯西不等式，以及 1-x^2 = (1+x)(1-x)

   y ≦ sqrt((3+(a+b+c))(3-(a+b+c))) = sqrt(8)

   最大值發生在 a = b = c = 1/3 時


  2. 最小值

   (1-a^2)^(1/2) + (1-b^2)^(1/2) + (1-c^2)^(1/2)

   ≧ (1-a^2) + (1-b^2) + (1-c^2)

   ≧ (1-a) + (1-b) + (1-c) = 2

   又已知當 a,b,c 三者，其中一個為1時， y = 2

   因此可知最小值是 2

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→ musicbox810 : 最小值的第一個不等式有可能等號成立?
有啊 a =1,b=0=c (茶)

推 Starvilo    : 少根號2
→ Starvilo    : 科西內部少根號2
推 Starvilo    : 1.sqrt(7)
我寫在最前面有說我改了題目啊 = =

為了怕根號裡面的東西小於 0 我把 2 都換成 1 了
※ 編輯: Eliphalet (61.56.10.42), 09/15/2017 12:48:37
→ musicbox810 : 想問一下那個不等式是怎麼做出來的,有用到什麼有名
→ musicbox810 : 的不等式嗎？因為我看不太出來怎麼證明,麻煩E大解釋