[幾何]兩解析反函數，遞減且convex之至多交點數？

[alen3321 (小棒)]

抱歉文章分類不知道選得好不好.

標題因字數限制，不夠完整，重述題目(做工程時被啟發的問題，不是作業)如下：

「

考慮兩個相異解析(analytical)函數，互相為反函數(inverse function)，
        ----
        (編輯修文)

且皆為嚴格單調遞減(strictly monotonically decreasing)且為凸函數(convex

function)，在平面上兩個函數的交點最多為幾個?

」


小弟工學院背景 孤陋寡聞 最多只學過工程數學

想請教各位大大，如題，不知道這個問題是否有既定答案或資料？

我個人想的答案是：最多3個





我先把我可以列舉的兩個Case說明：

(1)最簡單的y = a(x^2) + bx + c, x<= (-b/a)

反函數為 x = a(y^2) + by  + c, y<= (-b/a)

直接解聯立方程，至多1個解
                ---------





(2) y = d exp( -T x)

(為了遞減，T>0, d>0)

和反函數 y = -[ln (x/d)]/ T

我用Python套件Matplotlib

可畫出兩種情形



  (2a)參數設定

  d= 1200

  T = 0.00154

  則有一個相交點

  示意圖(S點)：

  https://goo.gl/JdpPpA




  (2b)

  如果參數為：

  d= 2000

  T = 0.00154

  則共3個相交點

  示意圖(三個空心點, hollowed points)!：

  https://goo.gl/7Fs6w5

 ↑小弟能想到的答案，最多就是3個

  這篇文章也提到了exp <--> log 函數至多3解：

  http://ami.ektf.hu/uploads/papers/finalpdf/AMI_43_from159to170.pdf




  後來發現高中數學 http://math.ymsh.tp.edu.tw/textbooks/concepts-1/explog

  也對於這種狀況稍微點到, 但點到為止.






(1)通案來說 3，這個答案是對的嗎？ 有可能有更大的交點數嗎 ?

   或是有任何瑕疵，請討論/指教!

(2)小弟我只能從數值上(numerically)得到答案，有更正式的解析證明嗎？


目前初步看來，和 https://en.wikipedia.org/wiki/Intersection_number 有關

但是否有更細部的方向?!

先謝謝各位大大m(.__.)m



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 114.42.48.13
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1506235228.A.872.html
→ Vulpix      : 1/x就無限多個了。-x也是。
抱歉 抱歉 沒說清楚 應該加個條件：兩個相異反函數

否則退化成trivial 就不是我想探索的

謝謝Vulpix大 我原本題目沒寫清楚 已修文
※ 編輯: alen3321 (114.42.48.13), 09/24/2017 15:40:56
推 znmkhxrw    : 你的解析函數是每點都可展成幂級數嗎?
推 znmkhxrw    : 然後我用y=x^2,x<=0當作簡單例子 反函數是x=-y^0.5
→ znmkhxrw    : y>=0，所以一起擺到同個座標就是y=-x^0.5 , x>=0
→ znmkhxrw    : 你說的唯一一個點就是定義域唯一重疊的點x=0嗎??
                                 對 沒錯

另外 我之前找的1個解 是另外一種狀況(a<0) 只有1個解(於第I象限).
※ 編輯: alen3321 (114.42.48.13), 09/24/2017 16:09:13
※ 編輯: alen3321 (114.42.48.13), 09/24/2017 16:09:43
※ 編輯: alen3321 (114.42.48.13), 09/24/2017 16:10:27
推 znmkhxrw    : 那我可能不理解你的問題 你能用我的例子說明兩解嗎?
   znmkhxrw大 抱歉 你剛剛說得是對的 我看錯您PO的函數了
※ 編輯: alen3321 (114.42.48.13), 09/24/2017 16:16:21
推 znmkhxrw    : 你該不會因為y=x^2跟x=y^2有兩個解才這麼說??
→ znmkhxrw    : 我是用你的限制:函數要嚴格遞減
→ znmkhxrw    : 才取y=x^2的左邊跟x=y^2下面 因此只有交(0,0)
       對 我同意您說的
※ 編輯: alen3321 (114.42.48.13), 09/24/2017 16:17:05
→ znmkhxrw    : 看到你回應了 那ok
感謝以上兩位大大提供讓我稍微修正一下命題.

現在命題應該已經修正到排除trivial解的狀況了.



我想知道的是

數值上(numerically)看起來答案是 3 ， 但不知道有沒有方法證明就是'3'這個答案?

也再請各位大大開示!
※ 編輯: alen3321 (114.42.48.13), 09/25/2017 21:08:08