Re: [其他] 三角函數 內心

[as7218 (Kaigiks)]

※ 引述《mrjj123 (RRRRRRRR)》之銘言：
: 請問這題要怎麼算呢
: https://i.imgur.com/4ootFwx.jpg

想出這題目的人滿厲害的。
一時之間不知道要從哪下手，條件又不夠明確很難用。


這題必須先利用角平分線把所有的角度標上。
（底下為了方便會把所有角度換成角A）

觀察一下可以發現幾個等腰三角形：


   △BCF, BF = CF  \
                      BF = BI = CF.
   △BFI, BF = BI  /

   △ICE, CI = EI  \
                      CI = CD = EI.
   △CDI, CI = CD  /


由於 CE + CD = 12 cos 2A, 以及 CD = EI.
得到 CE + EI = 12 cos 2A, 觀察 △CEI 後，由正弦定理

      CE         EI
   -------- = --------  ...為了方便計算假設 = k.
    sin 3A     sin 2A

所以可以得到

   k ( sin 3A + sin 2A ) = 12 cos 2A.  <- 有 k 後 CE, CD 已知。



再來利用

    CF     CF
   ---- = ---- （用等腰三角形換掉 CD）
    CD     EI

           BI
        = ---- （用等腰三角形換掉 CF）
           EI

           CB
        = ---- （考慮 △BCE, 用角平分線定理）
           CE

           sin 2A
        = -------- （考慮 △BCE, 用正弦定理）
           sin  A

最後可以求出...
               sin 2A                  sin 2A
    CF = CD * -------- = sin 2A * k * --------
               sin  A                  sin  A

                      12 cos 2A        sin 2A
       = sin 2A * ----------------- * --------
                   sin 2A + sin 3A     sin  A


然後我三角函數運算不是很拿手，不確定最後能不能化簡成好看的形式。

就留給其他人幫忙，或是原 po 自己加油吧（逃~

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推 tyz         : 請問最開始的等腰三角形是怎麼看出來的呢?
→ as7218      : △BCF嗎？ 因為 C/2 = B, CF 是角平分線
→ as7218      : ∠BFC = ∠CBF 來的。
→ as7218      : 其實我最晚找到的等腰三角形是 △CDI
→ as7218      : 然後還有另外一個等腰，在△ABE, 最後沒用到
推 tyz         : 感恩A大
推 sunev       : 可以化解成6的樣子