Re: [幾何]兩解析反函數，遞減且convex之至多交點

[Desperato (Farewell)]

(原文恕刪)


如果暫先不考慮 analytic 的話

則存在一函數 convex, decreasing

且與其反函數相交 4k+1 個點 (k 正整數)



令數列 {a_i} = {1, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, ..., } (從3開始 4個4個)
       {b_i} = {2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, ...} (從4開始 4個4個)

兩數列皆寫到 4k 項為止，其部分級數和分別為 A_i, B_i


令 f(0) = g(0) = 0
   f(-n) = A_n, g(-n) = B_n
   剩下非整數點的地方連直線

則 n = -4m  , f(n) = g(n)  (m 非負整數)
   n = -4m-1, f(n) < g(n)
   n = -4m-2, f(n) = g(n)
   n = -4m-3, f(n) > g(n)

因此 f(x) 和 g(x) 有 2k 個交點在第二象限

現在將 f(x), g(x) 對 x = y 對稱過去接給 g(x), f(x)


則 f(x), g(x) 都是 convex, decreasing
且有 4k+1 個交點, 一個(0, 0), 2k個在第二象限, 2k個在第四象限

把 a_i, b_i 當成斜率會比較容易看出我想表達的意思
反正就一直反超回去就對了


以類似的手法 可能可以創造出 analytic 的函數 但是我弄不出來XD
原本想用 bump function, 可是發現它雖然 smooth 但不 analytic
後來想用 Aexp^kx - 1 疊加聯立 可是要求 A 都是正的超麻煩

總之當成參考吧 我覺得只能3個點匪夷所思啊...



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嗯嗯ow o

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推 alen3321    : 感謝Desperato大m.__.m  (雖然暫時還不懂,需消化)
→ alen3321    : 我看您給的式子交點會出現在II、IV象限。也就是如果
→ alen3321    : 我再加強「只能出現在第I象限」的限制，是否就真的
→ alen3321    : 至多3交點了?! 還有大大是否有建議可念的材料, 讓我
→ alen3321    : 哪天可以念書趕個進度。再次謝謝大大
→ alen3321    :
→ alen3321    : 另外，我限制解析式是希望不要刻意製造解析式無法
→ alen3321    : 表達的斜率變化,一直互相超越.而是一個工程或自然界
→ alen3321    : 可以見得到、可能由自然現象導出的函式.
→ Desperato   : 不會 因為只要往右上平移 交點就會全部進I象限
→ Desperato   : 5個交點的情況 我有時間找一個看看(不一定找的到呢)