Re: [其他] Solve the Clairaut O.D.E. with B.C.

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《cyt147 (大叔)》之銘言：
: Find a differentiable function y=f(x) satisfying the Clairaut differential
: equation y=xy'-(1/4)(y')^2 and the boundary value conditions y(-1)=3/4=y(1).
: 我對方程式微分得到 0=[x-(1/2)y']y''  ，然後算出y=x^2-1/4或y=3/4，這不合原
: 方程式。請問還有什麼路可以走嗎?謝謝。

f 雖然 C^1，但沒有 C^2。


先在 f" 也連續的區間（如果有的話）內找：

(1) y"=0 => y=ax+b, 代回原ODE, 得 b=-a^2/4 => y=ax-a^2/4

(2) x-(1/2)y'=0 => y=x^2+c, 代回原ODE, 得 c=0 => y=x^2

很容易驗證 (1) 的解都是 (2) 的解的切線。

拼湊這一條拋物線和那些切線可得一 f：

f(x) = x-1/4 ,  1/2＜x≦1

       x^2   , -1/2≦x≦1/2

       -x-1/4,   -1≦x＜-1/2

剛剛擔心的「如果沒有」，就煙消雲散了。

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推 cyt147      : 我犯了一個很嚴重的錯誤，就是沒"帶回原ODE"，但即
→ cyt147      : 使有做，我恐怕也不會去考慮切線關係，接著就造不出
→ cyt147      : 這個可微的piecewise continuous function。
→ cyt147      : 感謝!原PO實在慧眼獨具。
→ cyt147      : 更正:piecewise defined function
※ 編輯: Vulpix (101.139.160.50), 09/28/2017 22:17:55