Re: [分析] 想請教一題證明題

[Vulpix (Sebastian)]

※ 引述《lmzenith (海苔飯捲)》之銘言：
: https://i.imgur.com/AuKB0DQ.jpg
: 如圖
: 想了很久還是不知從何下手
: 原本想要用數學歸納法
: 結果因為太難處理 就放棄了
: 有沒有高手可以給點指教
: 萬分感謝!

柯西不等式的證明其實還滿多種的。

I) 數學歸納法

   i) n=2 時，右式-左式 = (a_1*b_2-a_2*b_1)^2 ≧ 0，

      不等式對任何 a_i, b_i 均成立。

      (即使其中混有 √(a_k^2+a_{k+1}^2) 和 √(b_k^2+b_{k+1}^2)。)

   ii) 定義符號 s_k = Σ_{i=1}^{k} |a_i|*|b_i|

                S_k = √Σ_{i,j=1}^{k} a_i^2*b_j^2

       假設 n=k (k≧2) 時柯西不等式已成立。

       當 n=k+1 時，

          (Σa_i*b_i)^2 ≦ s_{k+1}^2

       ≦ ( s_{k-1} + |a_k|*|b_k| + |a_{k+1}|*|b_{k+1}| )^2

       ≦ ( s_{k-1} + √(a_k^2+a_{k+1}^2)*√(b_k^2+b_{k+1}^2) )^2  <by (i)>

       ≦ S_{k+1}^2  <將前式看成 k 項乘積和的平方，然後 by 假設>

   所以可由數學歸納法得知只要 n≧2，就有柯西不等式。

II) 判別式

    考慮實數線上的二次函數 f(t) = Σ(a_i*t-b_i)^2。

    除非每一個平方的零點都相同，否則 f(t) = 0 沒有實根。

    即，判別式≦0，稍微整理即得柯西不等式。

III) 算幾不等式(也可以展開後移項配方，過程會用到相同的平方。)

        左式

     ＝ (Σa_i*b_i)^2

     ＝ Σa_i*b_i*a_j*b_j

     ≦ Σ|a_i*b_i*a_j*b_j|

     ≦ Σ( |a_i*b_j|^2 + |a_j*b_i|^2 )/2

     ＝ [ (Σa_i^2)*(Σb_j^2) + (Σa_j^2)*(Σb_i^2) ]/2

     ＝ 右式


E 大的作法也是非常典型且經典的解法。

但因柯西不等式本身就是經典，所以其實可以拿來練習各種基本證明技巧。

然後就可以騙到 P 幣了^^

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→ yyc2008     : 當n=k+1 (Σa_i*b_i)^2 ≦ s_{k+1}^2 這不就是我們
→ yyc2008     : 要證的? 可是V大怎麼直接用上了?
這個證明不是針對特定 a_i, b_i，是對「任意」a_i, b_i。

→ yyc2008     : Σ( |a_i*b_j|^2 + |a_j*b_i|^2 )/2 = 右式 也看不
→ yyc2008     : 懂 跟排序不等式有沒有關係?
當然不能跟排序有關，只是展開而已。
※ 編輯: Vulpix (111.243.98.143), 10/04/2017 22:16:12