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作者znmkhxrw (QQ)
看板Math
標題[代數] 以x_i的連乘與相加表示x_i
時間Tue Oct 3 16:56:43 2017
想證明： 任給n>=2, 若x_1≦x_2≦...≦x_n 則對於每個x_i都能用以下幾項寫出基礎函數表達式 n Σ x_i i=1 n Σ x_i*x_j i≠j n Σ x_i*x_j*x_k i≠j≠k ‧ ‧ x_1*x_2*...x_n --------------------- 舉例來說 n=2,x_1<=x_2 則 x_1+x_2 - √[(x_1+x_2)^2-4x_1*x_2] x_1 ───────────────── 2 --------------------- 這個問題有參考資料或是已知結果了嗎@@? 我用n=3就湊不出來了.... 如果會解 x=f(x+y+z,xy+yz+zx,xyz) , where x<=y<=z 這種方程的話，那就有答案了，但是也很難解... 謝謝 -- ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 111.255.28.208 ※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1507021005.A.9EE.html
→ arthurduh1 : 這問題等價於多項式求根 10/03 17:05
→ arthurduh1 : by 根與係數關係 10/03 17:06
→ znmkhxrw : 所以五次方以上就無法了?? 10/03 17:34
→ arthurduh1 : 一般來說沒有根式解, 就代數課會學到的那個 10/03 17:47
推 arthurduh1 : 但你的例子還要假定根都是實根, 所以還要多走幾步@@ 10/03 17:54
→ arthurduh1 : https://goo.gl/sq45kn 這邊有例子 10/03 18:25
→ arthurduh1 : 我用 Magma 算它的 Galois group 是 S_5 沒錯 10/03 18:25
→ znmkhxrw : 喔喔 因此for general n答案是否定特就是了 10/03 18:40
→ arthurduh1 : 因為這問題就跟多項式求根是同一個呀 10/03 18:42
→ arthurduh1 : 在歷史上也是息息相關的樣子 10/03 18:43
→ arthurduh1 : 但一般求根問題不會假設根全部是實數 10/03 18:44
→ arthurduh1 : (x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n) 的求根問題 10/03 18:47
→ arthurduh1 : 而且是沒有「根式解」,相關脈絡請參閱Galois theory 10/03 18:47
→ arthurduh1 : ^而非沒有解 10/03 18:50