[其他] 初始 邊界與初始邊界問題

[saltlake (SaltLake)]

    常微分和偏微分方程的書會提到所謂的

  初始值問題 邊界值問題 初始與邊界值問題

  但是初始值和邊界值本來就是解微分方程

  必要的條件之一  欠缺的話 方程式數目

  不足以解出所定問題

  那麼為何要特別對問題做這些分類?

    另外 初值問題和初始邊界值問題的特性有

  甚麼顯著差別?

    所謂柯西問題是僅指初值問題還是也包括

  初始邊界值問題?


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 220.136.63.252
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1507684724.A.451.html
→ NNAA        : 1.如果方程式有"時間變數"跟"空間變數",
→ NNAA        : 時間變數會對應初值條件(不管邊界值是什麼),
→ NNAA        : 空間變數對應邊界值條件(不管初值是什麼).
→ NNAA        : 2.要解一個方程(證明解存在唯一 or 數值計算),
→ NNAA        : 通常會先問  要給什麼樣的初值/邊界值才合理
  記得拉普拉絲方程配上全部純偏微方的邊界值 解無法確定?

  但是有時候實務上的測量限制而只能提供這種邊界條件

  這時候是否有辦法得到最佳近似解?

→ NNAA        : 3.柯西問題就是初值問題
  那科西問包括初始與邊界值問題嗎?

  畢竟偏微方會有時間以外的變數
※ 編輯: saltlake (220.136.63.252), 10/11/2017 16:16:30
→ NNAA        : 拉普拉斯方程的domain要有對稱性, 才有解析解
→ NNAA        : 若沒有 就只能證"邊界條件滿足什麼性質 => 解存在"
→ NNAA        : 另, 沒有解析解可以跑數值解, 不過一般來說也不容易
→ NNAA        : 不同方程式的困難點不同, 要針對性的處理那些難點,
→ NNAA        : 常常是 case by case.
→ NNAA        : 最後, PDE的柯西問題我只知道兩種:
→ NNAA        : a) domain是R^n, 通常假設解u在無窮遠處有"u = 0".
→ NNAA        : b) domain是Periodic, 所以滿足周期性邊界條件.
→ NNAA        : 這種情況下(邊界條件確定了), 我們考慮初值就行了.
  換言之 初始與邊界值問題當中只有一部分屬於科西問題?

  另方面 初始與邊界值問題和純粹的邊界值問題之間又有怎樣關係?

  初始邊界值問題會具備邊界值問題的所有特色嗎?

※ 編輯: saltlake (220.136.63.252), 10/11/2017 17:46:48
→ NNAA        : 1.對, 初/邊界值問題有一部分是科西問題
→ NNAA        : 2.有些方程式, 比方熱方程是初/邊值問題,
推 NNAA        : 描述一個區域內的溫度如何隨時間變化,
→ NNAA        : 如果物體達到熱平衡, 溫度不再隨時間變化,
→ NNAA        : => 熱方程裡"溫度對時間偏微項"為零
→ NNAA        : => 熱方程變成拉普拉斯方程(即邊界值問題)
→ NNAA        : => 解變成原方程的 steady state solution
→ NNAA        : 3.目前我覺得這兩個東西是不一樣的