※ 引述《adamchi (adamchi)》之銘言：
: 一矩形長為9,寬為8,內部有兩內切圓(每一圓至少與矩形兩邊相切),彼此外切,
: 求此兩圓面積和最大值為______ (Ans:17拍)
: 請問:為什麼當其中一圓與矩形三邊相切時,面積和有最大值,謝謝
設兩圓C1, C2, 長方形ABCD, 左上A, 左下B, AD = 9, AB = 8
C1 切到兩邊 可以是切到一組對邊或一組鄰邊
如果C1和長方形的一組對邊相切 那必定要切 AD 和 BC
這種情況如果要讓C2有最大值 C1應該要靠到短邊 例如切到AB
所以 C1 也會切到至少一組鄰邊
因此我們可以假設 C1 就是切到一組鄰邊 例如 AB 和 BC
同理 C2 也會切到另一組鄰邊
(1) AB 和 BD 設 L 為平行 AB 過 C1 圓心的線
將 C2 以 L 為軸對稱過去 仍然在長方形內部
並且可以往右挪動 形成更大的圓
(2) BC 和 CD 設 L' 為平行 BC 過 C1 圓心的線 同上
因此 C2 如果要最大 必定要切到 CD 和 DA 兩邊
接下來就正常了 設 C1 半徑 x, C2 半徑 y
關係式 (x+y)^2 = (9-x-y)^2 + (8-x-y)^2 解出 x+y=5
其中 x <= 4, y <= 4 因此 1 <= x <= 4
求 pi(x^2+y^2) 的最大值
= pi(x^2+(5-x)^2) 是個開口向上的二次函數
最大值發生在兩端點之一(其實兩個都是)
max = pi(1^2+4^2) = 17pi
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嗯嗯ow o
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