Re: [請益] 正負整數加減法

[alan23273850 (God of Computer Science)]

終於有空來回個文，賺賺 P 幣，原文恕刪。

這篇前面可能包含少許意識形態，後面才有數學點，不喜者大可自請左轉離開。

先說結論，我真心覺得一個非學科導向的從業人員真的只需要會小學畢業前的數學，而這

並不包含「所有的」正負數加減法運算。當然，負數的觀念可能還是要有一點。

我母親曾告訴我她的同事的小孩天生就是不喜歡數學，喜歡數學本身就是一種人格特質，

一種個性，而這往往與從事某些行業的人們背道而馳，這邊就不列舉了怕被以為戰職業。

所以說不用強求自己小孩的數學一定要多好多好，因為理解數學不一定喜歡數學。

「我可以理解這段內容，但我就是不爽念，不爽為了升學而念，不爽考給家長看等等」

回過頭來看原 PO 的學生究竟是下意識的因為不知道學數學到底有什麼用，而不想花足夠

多的力氣去理解正負數的加減法，還是他/她真的很有動力想弄懂這章節，想看看這些內容

到底藏了什麼彩蛋，目前我猜是前者。

如果是前者，那麼還得先由原 PO 將學生從前者說服變成後者，那麼我接下來所打的東西

才有意義，學生才會聽進去，否則就還是一樣的結果。

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以下開始真正的數學，我想先介紹什麼是加減法、為什麼要從正整數推廣到負整數，

再來解釋正負數的加減法到底可以幹什麼用。

[加減法 & 負數]

剛開始我們學數的時候只有「量的概念」，1 顆蘋果、2 顆蘋果、3 顆蘋果，而

2 顆 + 3 顆 = 5 顆蘋果，可以看成兩袋蘋果倒在一起一顆一顆數。那麼減法呢？

5 顆 - 3 顆 = 2 顆，意思是說一大袋有 5 顆蘋果，從中拿走 3 顆，就剩 2 顆。

現在問題來了，2 顆 - 5 顆 = -3 顆 是什麼意思？我會解讀成說我想從一袋有 2 顆

蘋果的袋子中拿走 5 顆，此時不足 3 顆。既然不足為什麼還要當成一個數字記下來呢？

原因就在於有些時候你必須統計自己損失多少，這樣未來人家還你的時候你才知道有沒有

被人家佔便宜，這牽涉到借貸的觀念。其實我在猜小孩子可能還沒有借還錢的相關經驗，

才對負數興趣缺缺。站在自己存款的角度來說：

[加法]：收入、借錢
[減法]：支出、還錢
[正數]：盈餘
[負數]：欠債、一種損失的狀態

更何況，單用蘋果這個例子完全沒辦法表達金錢上的往來，所以下面都會繼續以金錢為例。

[數線的妙用 & 正負數加減法]

數線說穿了就是把金錢的往來過程圖像化，就像網路銀行的交易明細這樣。
(...省略100張圖舉例...)

到這邊就很清楚地來到了正負數加減法，以及運算符號與性質符號的差異。

性質符號：跟在數字前面的一個符號，說明盈餘還是損失的狀態

Ex. (+3) --> 我這邊現在有 3 塊錢
Ex. (-5) --> 我目前還欠人家 5 塊錢

運算符號：主動向別人借錢或還錢的動作

Ex. +(3) --> 我想跟人家借 3 塊錢，這樣能讓自己 $$ 多多
Ex. -(5) --> 我 $$ 太多了，想送 5 塊給小妹妹買自己洗翻的禮物 >////<

那麼加或減一個負數是什麼意思呢？不太容易，但我還是勉強擠出了一個解釋

Ex. +(-2) --> 我想跟人家借錢，結果被我借的那個人說 ㄟ我現在欠人家 2 塊錢，
你先借我一下好不好，於是我就先貢獻 2 塊給人家了
Ex. -(-3) --> 我錢太多想撒錢，結果被我送的那個人說 ㄟ我也跟你一樣錢太多耶，
換我送你 3 塊小錢讓我 GGInDer 好不好，我還是只能照收，於是乎多了那 3 塊錢

到這邊看似很理想，不過回到我原本推文那邊所說的，加法是向右邊看，減法向左邊看，

遇負數要迴轉，才能應付所有的式子，等會兒會解釋。

[標準解題辦法]

先總結一下解題 SOP，大概有以下幾點：
1. 先把所有的數字都加上括號，並標上所有性質符號與運算符號。而且要注意如果沒有
標上性質符號的話統一為正，怕混淆者得自行補上。
2. 正正得正，正負得負，負正得負，負負得正。這必須是把上面金錢借貸的類比想熟
之後的反射動作。而且第一個字必須是運算符號，第二個字必須是性質符號。
3. 透過 2. 把所有括號拆開得到更低年級那種沒有負的性質符號的運算式。
4. 最後靠低年級所學之經驗進行計算。

例題：
1. 2-3=？ A: 先寫成 (+2)-(+3)，便知 2 要往左移動 3 格，是為 -1。
2. -5+3=？ A: 先寫成 (-5)+(+3)，便知 -5 要往右移動 3 格，是為 -2。
3. -5-(-3)=？ A: 先寫成 (-5)-(-3)，透過負負得正規則，轉為 (-5)+(+3)，得到 -2。
上面這些題目都能用金錢借貸的例子去說明，即使是像 -10-(-11)+12-(13) 這種也可以。

比較殘忍的是這種：-(+(-12)) + -(-(-3)) + (-10)=？
只要遇到連續兩個以上的性質符號，便難以用例子去說明，我想是因為從內層往外數，
第 2 層以外的符號嚴格算起來也是運算符號的一種，例如 -(-(-3)) 其實是先對最內層
的數字取否逆得到 -(3)，再取一次得到 -3，而取否逆本身就是一個動作，等效於乘以
(-1) 這個數，這邊便扯遠了，到最後就變成看到 n 個負號會想到 (-1) 的 n 次方，
然後 n 是偶數時為正，奇數為負的這種不明究裡的規則。

如果學生可以把第 2. 點自行腦補成性質符號&性質符號的組合也用相同口訣，那恭喜你XD

這樣會輕鬆許多，如果不行，那麼他/她的邏輯是正常的，只是會比較辛苦。

呼應到原文下面有推文提到，想理論時歸理論，該計算的時候就要靠規則，我想也是沒錯。

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到這裡說得差不多了，這篇到後來沒有打得很好，因為 (-1)^n 其實已經超出了我第一段

所提的，非學科導向的從業人員所需要的數學，一般在計算盈虧也不會遇到連續兩個性質

符號的情況，於是我認為不出現連續兩個性質符號的數學式才在出題合理範圍內，但老師

們應該不這麼想 XD

而偏偏小學數學很多都是沒辦法當下解釋來由的，例如整數乘法，需要國中多項式的基礎，

又或者為什麼圓周長公式是 2拍r，這還需要高中的三角函數與極限的知識才能推導，但是

不理解就不使用嗎？好像也不能這樣。

所以說教育真是百年大計，我只能盡己所能把自己所理解的正負數加減法之意義傳達出來，

至於學生能不能弄懂我就管不著了，這邊還預祝原 PO 能繼續順利的教出優秀的學生。

謝謝收看 :p

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→ Vulpix      : 把學生從前者說服變成後者，我覺得這是老師，特別是
推 Vulpix      : 家教老師的一個很特別的工作。不過關於連續多的性質
→ Vulpix      : 符號我覺得還是找得到解釋的，兩人間的借貸關係稍微
→ Vulpix      : 錯綜複雜些的話，彼此反覆多次借與被借的關係也就成
→ Vulpix      : 為了-(-(-3))這種奇怪的東西，而數學幫助我們將此借
→ Vulpix      : 貸關係簡化成-3。題外，其實我覺得 -潔=-(-(-潔))
→ Vulpix      : 還滿有趣的，但現在學生都沒看過婦潔的廣告了。
→ alan23273850: 我小的時候好像有看過XDDD 不過真的很久了
→ alan23273850: https://www.youtube.com/watch?v=xunDhYfDLCk
→ alan23273850: 最後幾秒鐘出現的。嚴格說起來中學以後根本就沒有在
→ alan23273850: 分性質符號還是運算符號，因為如果把 (-1) 提出來，
→ alan23273850: 它們完完全全就是一樣的東西，這個東西比較難理解。
→ alan23273850: 　　　　　　　　　　　　　　　　概念
→ alan23273850: 如果能直接從借貸理解這種多性質符號的現象，這得要
→ alan23273850: 聰明聰聰聰明的人才有辦法達到的境界阿～
→ rax921930   : 認真說 遇到這種學生 先訓練作文或表達能力對加強
→ rax921930   : 他們的數學比較有幫助 ...
→ rax921930   : 因為這種學生往往連"如何"正確的問出問題都沒辦法
→ rax921930   : 或沒信心作到 只要表達能力到位 不怕問不出問題