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※ 引述《zzss2003 (brotherD)》之銘言：
: 標題: [微積] 使用ε-δ定義證明f(x)=x^2在x=2時=4
(原文省略)
首先 lim_(x->2) x^2 = 4 的定義是
「給定任意ε>0，則(至少)有一個δ>0，使得
如果(if) 0 < |x-2| < δ 時，則有(then) |x^2-4| < ε」
(1) 以下的說法是一樣的意思
A => B
A implies B
if A then B
B, whenever A
to have B, need A
所以首先原PO弄錯方向了，0<|x-2|<δ才是條件，|x^2-4|<ε是結果
以下的說明怎麼寫，都不會違反這個方向
(即使都是先想要結果，再去把條件生出來)
(2) 原定義第二行的意思是
「如果希望 x^2 和 4 的差比ε還要小，只要讓 x 和 2 差不到δ就行了」
第一行的意思則是
「隨便給一個ε>0，不管是給哪一個ε，都找的到δ滿足第二行的條件」
合併起來的意思是
「為了讓x^2離4多近(ε)，只要讓x離2夠近(δ)就好，而且一定辦的到」
也就是說，只要x離2夠近，x^2就能離4多近。這就是極限的定義本身。
這個定義本身要先弄熟，不然會怎麼寫都搞不清楚狀況。
(3) 題目給定的是 x->2，因此δ本來就多小都可以
題目要求 x^2->4，因此ε多小都可以是需要證明的
所以才會變成「每給一個ε，找一個適當的δ」
因此，ε才是隨便給的，δ是配合ε找出來的，一點都不隨便
(不過最後ε要給好給滿，因為要對所有ε>0都成立)
這應該能回答問題二和問題三
δ=10 , -9 < x < 11 , -4 <x^2-4< 117 , |x^2-4| < 117
δ=1 , 1 < x < 3 , -3 <x^2-4< 5 , |x^2-4| < 5
δ=0.1 , 1.9 < x < 2.1 , -0.39 <x^2-4< 0.41 , |x^2-4| < 0.41
δ=0.01 , 1.99 < x < 2.01 , -0.0399 <x^2-4< 0.0401 , |x^2-4| < 0.0401
δ=0.001, 1.999 < x < 2.001,-0.003999 <x^2-4< 0.004001, |x^2-4| < 0.004001
以上表為例，如果 ε=10 或 ε=7，那δ=1就足夠用了
若 ε=1，用δ=1製造的範圍就不夠小，要取δ=0.1 或 0.01
若 ε=0.004，那上述4個δ都不夠小，要找個更小的δ
(4) 不管給什麼ε，都要有這麼一個δ。所以說δ是ε的函數，δ=δ(ε)
雖然實際上適合的δ有很多個，但只要挑一個就好，所以是函數
δ和ε真正的關係是一個多對多的graph G
(而function是一種特殊的graph)
G = { (δ,ε) in R+ x R+ : 0<|x-2|<δ implies |x^2-4|<ε }
可以取G的subgraph，把ε寫成δ的函數或把δ寫成ε函數。
極限存在的意思是，G有個subgraph使得δ是ε的函數，且ε的定義域是R+
這可以回答問題四，雖然不知道看不看得懂(?)
(5) 極限的定義會長這樣，其中一個原因是ε>0這東西沒有最小值
如果 |x^2-4| < ε 的話，當然 |x^2-4| 也會 < ε+1
也就是說，只要證明過小的ε，那大的ε就等於證過了
可是我們沒有「最小的ε」這種東西，只能不斷越取越小
有一種證明法是證明 ε=1/n, n = 1, 2, 3, ... 時都正確，這是OK的
好處是可以用類似數學歸納法的方式證明(或是用countable的性質)
可是即使是這樣，還是使用了無限個ε
(6) 最後是證明，順便回答問題一
給定ε>0之後，要達成 |x^2-4| <ε 的目標
作法是證明 |x+2| 和 |x-2| 都有上限，因此 |x^2-4| 有上限，而且比ε小
|x-2| 的上限就是 δ，這是容易控制的部分，要壓多小就有多小
(因為本來 δ 就是從所有δ>0挑一個，愛怎麼選就怎麼選)
麻煩的是 |x+2| 的上限，這個東西並不是任意小
這邊的方法是，先不論δ要多少，總之δ不取超過1就對了，也就是δ<=1
因此有 0 < |x-2| < δ <= 1
then -1 <= x-2 <= 1
then 3 <= x+2 <= 5
then |x+2| <= 5 (絕對值是國中數學內容，請回想起來XD)
注意到上述的證明是不可逆的(if上式then下式)
所以給定 |x+2| <= 5 ，要想到 δ<=1 並不容易 (推不回去)，所以 1 是先猜的
1 真是隨便取的，像原回覆中y大取 2 也能算，下面的ε/5改成ε/7就好
不喜歡那個 5，改成 |x+2| <= 5 <= 10 也行，下面的ε/5改成ε/10就好
現在既然有 |x+2| <= 5 ，那當然 |x-2| 的上限有ε/5 就能湊齊條件
所以取 δ=ε/5 就行，但是 ε/5 不能超過 1 (否則要取 δ=1)
數學表達為 δ 是ε/5 或 1 比較小的那個，也就是 δ = min{ε/5, 1}
這時候才有 |x+2|*|x-2| < 5*δ = ε
取 δ=ε/50 也沒差，就只是變成 |x+2|*|x-2| < 5*δ = ε/10 < ε
因此原證明邏輯上的流程是
(1) 給定任意 ε>0
(2) 令 δ = min{ε/5, 1}，因此 δ <= ε/5 且 δ <= 1
(3) 如果δ不大於 1 ，則 |x-2| <= 1，因此 |x+2| <= 5
(4) 如果δ不大於ε/5， 則有 |x-2| < ε/5
(5) 由(2)，δ滿足(3)和(4)，因此 |x^2-4| < 5(ε/5) = ε
(6) 滿足極限的定義，極限存在且 lim_(x->2) x^2 = 4
思考的流程是，先寫(1)，想要證明(5)
把(5)拆成兩個，先找到(3)的上限，接著(4)配合(3)
最後宣稱找到(2)，按照邏輯得到(5)，作結論(6)
實際上在寫的時候是照邏輯流程寫
其中(3)是需要說明的部分，有時候會寫在(2)前面。
從灰色字的部分可以看到，
「給定ε>0之後，要達成 |x^2-4| <ε 的目標」
其實有非常多種方法，雖然大原則都差不多
這是為什麼原回覆中，沒有人會承認有「標準解答」(倒是有常見流程)
(7) 看不看得懂看個人造化了(攤手)
這並不是一篇文章能解釋的東西，不然教科書都這樣寫了
需要更多的練習，和maybe配合以後新學到的東西，才能熟練
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嗯嗯ow o
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