Re: [微積] 線段長定義的問題

[znmkhxrw (QQ)]

你把整個弄混了 重新釐清一次

先給定一個定義在[a,b]的有界實函數f

再來任給[a,b]的一個分割 P = {a=x_0<x_1<...<x_n=b} (分割就是分割點)

則有下列定義：

(1) 黎曼和：在每個分割點間[x_(i-1),x_i]任選一個點e_i€[x_(i-1),x_i]

               n
            則Σ f(e_i)(x_i-x_(i-1)) 就是f的一個黎曼和, 記做R(f,P,e_i)
              i=1

(2) 上黎曼和：對分割點間[x_(i-1),x_i]取函數f的確上界sup

              即 M_i :=      sup      f(x)
                        [x_(i-1),x_i]

                  n
              則 Σ M_i(x_i-x_(i-1)) 就是f的一個上黎曼和, 記做U(f,P)
                 i=1

(2) 下黎曼和：對分割點間[x_(i-1),x_i]取函數f的確下界inf

              即 m_i :=      inf      f(x)
                        [x_(i-1),x_i]

                  n
              則 Σ m_i(x_i-x_(i-1)) 就是f的一個下黎曼和, 記做L(f,P)
                 i=1

                                                                   ╴
(3) 上(黎曼)積分： inf{U(f,P)：跑遍任何分割P} 就是f的上積分, 記做  S f
    (又稱作上達布積分)

(4) 下(黎曼)積分： sup{L(f,P)：跑遍任何分割P} 就是f的上積分, 記做  S f
    (又稱作下達布積分)                                             ￣                                                                                      ￣


接著，黎曼可積有以下這兩個等價定義：（實際上更多，不占版面了）
    ╴
(a) S f = S f
          ￣
(b) 存在實數L滿足以下敘述：

    任給ε>0，存在一個分割P_ε，使得對所有滿足比P_ε更細的分割P

    都有 │R(f,P,e_i)-L│<ε, for any e_i chosen in [x_(i-1),x_i]
-------------------------------------------------------------------

接著看你問題

※ 引述《ppu12372 (高能兒)》之銘言：
: 標題: [微積] 線段長定義的問題
: 時間: Wed Oct 18 21:43:01 2017
:
: https://imgur.com/a/L3725
:
: 線段長的定義,如圖1
:
: 取極限後經過推導會變成積分


這其實不太算真正的推導 但是概念上很正確

因為lim_{n→∞}會讓你以為"找到某種分割形式去逼近"就好

實際上我們要的是"不論怎麼切 只要夠細都可以到一樣的極限值"

:
: 可是,圖3,Riemann Integral的定義不是必須要上和極限等於下和極限嗎??
:
: 但線段長的取極限後只有下和呀

這裡正是我思考怎麼跟你說的地方

這兩句的下和 不太一樣 
                                               ╴
黎曼積分的定義靈感是來自於圖形面積，所以定義為 S f = S f 非常合理
                                                     ￣
但你說的 "線段長的取極限後只有下和" 很奇怪，是誰的下和？

我假設你想表達的是：線段長的加總長度比曲線短，所以稱作下和

而確實對於曲線長度的估計，我們找不到比曲線還要長的參考值去逼近曲線長

因此才會只考慮分割線段，只要分割越細，線段和就會更長，

所以才把 曲線的長度定義成分割到無限細的時候

嚴格敘述見我之前的回文中【弧長】部分 #1PpEjbC4


這邊注意到：我在講曲線的部分完全沒講到黎曼積分喔

所以我才會覺得你把他搞在一起，為什麼曲線長跟黎曼下和有關係

你所截的圖只是告訴你，每一個線段長度可以用平均值定理寫成

[f'^2(t_1)+g'(t_2)^2]^0.5

而上面這個這個式子跟這個函數 F(x):= [f'(x)^2+g'(x)^2]^0.5 的黎曼和很像

差別就在於F(x)的黎曼和的f',g'裡頭塞的變數要一樣

:
: 為什麼可以說取極限後就是Riemann Integral,然後用圖4的微積分基本定理呢??

沒用到微積分基本定理呀 哪裡看到的???

: 圖2還提到了Riemann Integral,但即使取極限後也只是下和,
: 不會是Riemann Integral呀XDDDDD

這正是為什麼要加上這個條件：f,g的微分都是連續的

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簡單兩句話總結：

(1) 曲線長的定義就是分割成無限段的線段和
    (高微的total variation)

(2) 若各分量函數(以書上就是兩分量f,g)是連續可微
    則曲線長就可證出是[f'(x)^2+g'(x)^2]^0.5在[a,b]的積分

(關鍵當然就是如何處理f',g'裡頭的變數，用到高微的均勻連續
 這也是為什麼需要f,g要求是連續可微的)

--
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※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1508343722.A.282.html
推 ppu12372    : 哦哦我懂了，所以邏輯是這樣的: 一個函數，我們可以
→ ppu12372    : 透過考察其黎曼上和極限是否等於下和極限，若上下相
→ ppu12372    : 等，則稱為黎曼可積，因此我們可以很方便的使用微積
→ ppu12372    : 分基本定理來計算某個區間內黎曼和的極限值
→ ppu12372    : 而現在，我們定義了線段長，是取曲線割線和的極限值
→ ppu12372    : ，我們一樣想求極限值，經過推導我們發現該極限值會
→ ppu12372    : 等於一個函數的黎曼和極限值，然後我們再證明該函數
                  在這之前全部理解正確   ←┤

之後有點怪怪的，"該函數全域黎曼可積"很顯然，因為[f'^2+g'^2]^0.5是連續函數
所以到箭頭那邊停住即可

精神在於：推導線段長的過程中，可以寫成"很像"這個函數[f'^2+g'^2]^0.5的黎曼和
但是只是"很像"(因為f',g'裡面變數不同)，如何取極限後變成"一樣"，就需要f,g是
連續可微才能辦到這件事

→ ppu12372    : 全域黎曼可積，因此也能很方便的求極限值了~~
推 ppu12372    : 雖然線段長的定義是等於那個函數的黎曼下和，但我們
                     ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
                                沒有這回事喔

曲線的定義就是分割無限細的線段和
而每個線段和都能寫成"很像"這個函數[f'^2+g'^2]^0.5的黎曼和，並非這個函數的下和

這也是為什麼我說你原文誤解了兩個下和了

你要說曲線長定義是由下和去逼近的我可以接受，但是下和指的要是線段長
並非某個函數的黎曼下和

→ ppu12372    : 知道那個函數是上下和相等的(黎曼可積)
推 ppu12372    : 哦哦我懂你意思了，所以應該說線段長的定義形式很像
→ ppu12372    : (但不等於)那個函數的黎曼下和，但如果f和g都是連續
                                     ^^^^^^^^
                                     黎曼和，並非下和

→ ppu12372    : 可微，這個"很像"的形式取極限值會等於該函數的黎曼
→ ppu12372    : 和極限值
對

推 ppu12372    : 然後再根據已證明的命題 "若函數f在開區間(a,b)內連
→ ppu12372    : 續，則在該區間內黎曼可積" 來推出該函數全域黎曼可
→ ppu12372    : 積
黎曼積分是定義在閉區間喔

推 ppu12372    : 啊對對對，是很像該函數的黎曼和而不是黎曼下和><
→ ppu12372    : 感謝你一直不厭其煩的糾正我
推 ppu12372    : 所以，因為定義是閉區間，所以我們不能直接說該函數
→ ppu12372    : 開區間(-∞,∞)內黎曼可積，而應該說若閉區間[a,b]
→ ppu12372    : 落在開區間內(-∞,∞)，則[a,b]內黎曼可積，好多此
→ ppu12372    : 一舉的感覺...
為什麼你會提到在開區間的黎曼積分阿
我看你的圖也是閉區間呀
※ 編輯: znmkhxrw (111.255.24.179), 10/20/2017 22:02:15
推 ppu12372    : 因為全域是開區間呀，(-∞,∞)，全域黎曼可積直覺上
→ ppu12372    : 會說開區間(-∞,∞)內黎曼可積
→ Desperato   : (-∞,∞) 也是閉區間喔ow o
→ Desperato   : 不對 只是能說closed 不是區間 所以也不是開區間(?