---
`f(x) = Π_(i=0)^∞ (ln^(○i) x)^(α_i)`
where `max{i|α_i≠0}` is constant.
請問當`x→∞`極大時，`∫ f(x) dx` 會趨近於多少?
---
`ln^(○i)`的定義
`ln^(○i) x = ln^(○(i-1)) ln x`, i 為正整數;
`ln^(○0)x = x`.
---
請問有人知道該怎麼算嗎? 或者是 相關的關鍵字?
以下是我未完成的尋找過程。
觀看前請先用 MathJax Bookmartlet 轉換，教學詳見連結:
https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1505402987.A.A20.html
---
$\LaTeX$ 版
$f(x) = \prod_{i=0}^\infty (\ln^{\circ i} x)^{\alpha_i}$
where $\max\{\, i\,|\,\alpha_i \neq 0\}$ is constant.
What is $\int f(x) \,\mathrm{d}x$ asymptotically equivalent to as $x \to
\infty$ ?
---
Define $\ln^{\circ i}$ as the $i$-th iterate of $\ln$, where $i$ is a
non-negative integer, by:
$\ln^{\circ i} x = \ln^{\circ (i-1)} \ln x$, for $i \in \mathbb{Z}^+$;
$\ln^{\circ 0} x = x$.
---
---
先求 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)$ 會趨近多少。
已知 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln x = \frac{1}{x}$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[(\ln^{\circ i} x)^{\alpha_i}\right]$
$= \alpha_i (\ln^{\circ i} x)^{\alpha_i-1}\dfrac{\mathrm{d}(\ln^{\circ i}
x)}{\mathrm{d}x}$
$=(\ln^{\circ i} x)^{\alpha_i} \dfrac{\alpha_i}{\prod_{k=0}^i \ln^{\circ k}
x}$
從這裡可以觀察到函數 $\ln^{\circ i}$ iterate 的次數越多，
被微分後，分母的 asymptotic scale or complexity (複雜度) 越大，但分子的複雜度
不變。
所以，微分時，且 $x \to \infty$，只需考慮最小iteration的次數的微分。
$\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} $
$= f(x) \displaystyle\sum_{i\in\{j|\alpha_j\neq
0\}}\dfrac{\alpha_i}{\prod_{k=0}^i \ln^{\circ k} x}$
$\sim f(x) \dfrac{\alpha_{\min\{j|\alpha_j\neq
0\}}}{\prod_{k=0}^{\min\{j|\alpha_j\neq 0\}} \ln^{\circ k} x}$
---
求出 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)$ 的複雜度後，
接著就可以利用它來求 $\int f(x) \, \mathrm{d}x$。
因為
$f(x) \sim \int \frac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}} \, \mathrm{d}x$
or $f(x) \sim \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\int f(x) \,
\mathrm{d}x\right)$ as $x \to \infty$.
所以 $\int f(x) \, \mathrm{d}x$ 會趨近於
$f(x) \dfrac{\prod_{k=0}^{\min\{j|\alpha_j\neq -1\}} \ln^{\circ k}
x}{\alpha_{\min\{j|\alpha_j\neq -1\}}+1}$
接著來驗證這個結果。
若這個結果是對的，則
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)
\prod_{k=0}^{\min\{j|\alpha_j\neq -1\}} \ln^{\circ k} x}{\int f(x) \,
\mathrm{d}x}$
是非零常數。
開始推導。
$\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)
\prod_{k=0}^{\min\{j|\alpha_j\neq -1\}} \ln^{\circ k} x}{\int f(x) \,
\mathrm{d}x}$
$= \displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}
\left(f(x) \prod_{k=0}^{\min\{j|\alpha_j\neq -1\}} \ln^{\circ k}
x\right)}{f(x)}$
希望分子會是 f(x) * nonzero constant。推導過程如下。
$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(f(x) \prod_{k=0}^{\min\{j|\alpha_j\neq
-1\}} \ln^{\circ k} x\right)$
$= \dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x} \prod_{k=0}^{\min\{j|\alpha_j\neq
-1\}} \ln^{\circ k} x + f(x) \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(
\prod_{k=0}^{\min\{j|\alpha_j\neq -1\}} \ln^{\circ k} x\right)$
左邊的項 $\dfrac{\mathrm{d}f(x)}{\mathrm{d}x}
\prod_{k=0}^{\min\{j|\alpha_j\neq -1\}} \ln^{\circ k} x$
$\sim \left(f(x) \dfrac{\alpha_{\min\{j|\alpha_j\neq
0\}}}{\prod_{k=0}^{\min\{j|\alpha_j\neq 0\}} \ln^{\circ k} x}\right)
\prod_{k=0}^{\min\{j|\alpha_j\neq -1\}} \ln^{\circ k} x$
右邊的項 $f(x) \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \left(
\prod_{k=0}^{\min\{j|\alpha_j\neq -1\}} \ln^{\circ k} x\right)$
$\sim f(x) \dfrac{\prod_{k=0}^{\min\{j|\alpha_j\neq -1\}} \ln^{\circ k} x}{x}$
推不下去了，卡關中。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 118.161.200.52
※ 文章網址: https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1508489075.A.724.html
※ 編輯: JKLee (118.161.200.52), 10/20/2017 23:44:51